万维百科

作用量本文重定向自 作用量

物理学里,作用量(英语:action)是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程方法大不相同,作用量也可以被用来分析物理系统的运动,所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态,初始状态与最终状态,然后,经过求解作用量的平稳值,就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。

历史

皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明:光传播的正确路径,所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性,现今,一个物理系统的运动拥有了展望与目标。

戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论:光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径;更精确地说,阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题,如果要符合实验的结果,玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍;但是,玻璃的密度大于空气,应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散;因此,光被约束在一个很窄的路径内。假若,河道变窄,水的流速会增加;同样地,光的路径变窄,所以光的速度变快了。

1744年,皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,发表了最小作用量原理:光选择的传播路径,作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理,他证明了费马原理:光传播的正确路径,所需的时间是极值;他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年,莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中,应用这原理于碰撞,正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞;这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。

莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律,而这物理量是。应用这理论,欧拉成功的计算出,当粒子受到有心力作用时,正确的抛射体运动。

在此以后,许多物理学家,包括约瑟夫·拉格朗日威廉·哈密顿理查德·费曼等等,对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。

概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出,随着极小的时间、位置、或其他变数的变化,一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变,再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值,就能求得物理变数在任何点的数值。

作用量方法是一种全然不同的方法,它能够描述物理系统的运动,而且只需要设定物理变数在两点的数值,称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算,可以得到,此变数在这两点之间任何点的数值。而且,作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。

哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价:描述物理系统运动的微分方程,也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场电磁场重力场,这描述都是正确的。更加地,哈密顿原理已经延伸至量子力学量子场论了。

变分法数学语言来描述,求解一个物理系统作用量的平稳值(通常是最小值),可以得到这系统随时间的演化(就是说,系统怎样从一个状态演化到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演化对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。

作用量形式

在经典物理里,作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。

作用量(泛函)

最常见的作用量是一个泛函,输入是参数为时间与空间的函数,输出是一个标量。在经典力学里,输入函数是物理系统在两个时间点之间广义坐标的演变。

作用量定义为,在两个时间点之间,系统的拉格朗日量对于时间的积分:

根据哈密顿原理,正确的演化要求平稳的作用量(最小值、最大值、鞍值)。经过运算,结果就是拉格朗日方程

简略作用量(泛函)

简略作用量也是一个泛函,通常标记为。这里,输入函数是物理系统移动的一条路径,完全不考虑时间参数。举例而言,一个行星轨道的路径是个椭圆,一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线;在这两种状况,路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量定义为广义动量延著路径的积分:

其中,是广义坐标.根据莫佩尔蒂原理,正确路径的简略作用量是平稳的。

哈密顿主函数

主条目:哈密顿主函数

哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数与泛涵有密切的关系。固定住初始时间和其对应的坐标点;而准许时间上限和其对应的坐标点的改变。取为函数的参数。换句话说,作用量函数拉格朗日量对于时间的不定积分

更加地,可以证明是某常数矢量。所以,

哈密顿特征函数

主条目:哈密顿特征函数

假若,哈密顿量是守恒的;

其中,是常数。

设定哈密顿特征函数

则哈密顿特征函数是一个作用量。

更加地,

对于时间积分:

这正是简略作用量的方程。

哈密顿-雅可比方程解答

主条目:哈密顿-雅可比方程

哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若,哈密顿-雅可比方程是完全可分的;则哈密顿主函数分出的每一个项目也称为"作用量"。

作用量-角度坐标

主条目:作用量-角度坐标。思考一个作用量-角度坐标的广义动量变数,定义为在相空间内,关于转动运动或振荡运动,广义动量的闭路径积分

这变数称为广义坐标的作用量;相应的正则坐标角度。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量;这里,只有一个标量变数被用来积分。作用量等于,随着沿着闭路径,的改变。应用于几个有趣的物理系统,或者是常数,或者改变非常地慢。因此,时常应用于摄动理论缓渐不变量的研究。

哈密顿流作用量

参阅重言1形式

数学导引

哈密顿原理阐明,如果一个物理系统在两个时间点的运动是正确运动,则作用量泛函一次变分为零。用数学方程表示,定义作用量为

其中,是系统的拉格朗日函数广义坐标是时间的函数。

假若,是系统的正确运动,则

从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程.假设是系统的正确运动,让成为一个摄动;摄动在轨道两个端点的值是零:

取至的一阶摄动,作用量泛函的一次变分

这里,将拉格朗日量展开至的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目,

边界条件使第一个项目归零。所以,

要求作用量泛函平稳。这意味着,对于正确运动的任意摄动,一次变分必须等于零:

请注意,还没有对广义坐标做任何要求。现在,要求所有的广义坐标都互相无关(完整限制)。这样,根据变分法基本引理,可以得到拉格朗日方程:

在各个物理学领域,拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程,能够用来精确地理论分析许多物理系统。

对应于广义坐标广义动量,又称为共轭动量,定义为

假设不显性地跟广义坐标有关,

则广义动量是常数。在此种状况,坐标称为循环坐标。举例而言,如果用极坐标系来描述一个粒子的平面运动,而无关,则广义动量是守恒的角动量

参阅

外部链接

参考文献

  • Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",(Dover Publications, New York, 1986), ISBN 0-486-65067-7.这领域最常引用的参考书。
  • 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,(Butterworth-Heinenann, 1976), ISBN 0-7506-2896-0.这本书一开始就讲解最小作用量原理。
  • Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,(Addison Wesley, 1980), pp. 35-69。
  • Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,(Simon & Schuster Macmillan, 1996), ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
  • Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",(Dover Publications, 1974), ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早书。
  • Dugas, René, "A History of Mechanics",(Dover, 1988), ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。

本页面最后更新于2021-09-25 20:34,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器