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倒易点阵

一个二维晶体及其倒易点阵

倒易点阵(英语:reciprocal lattice),又称倒(易)晶格倒(易)格子,是物理学中描述空间波函数傅立叶变换后的周期性的一种方法。相对于正晶格所描述的实空间周期性,倒晶格描述的是动量空间,亦可认为是k空间的周期性。根据位置和动量所满足的庞特里亚金对偶性布拉菲晶格的倒晶格仍然是一种布拉菲晶格,而倒晶格的倒晶格就会变回原始晶格(正晶格)。

数学描述

一维晶格

对于以为基矢的一维晶格,其倒格子的基矢为

二维晶格

对于以为基矢的二维晶格,定义其二维平面法线向量为,其倒格子的基矢为

三维晶格

对三维晶格而言,我们定义素晶胞的基矢 ,可以用下列公式决定倒晶格的晶胞基矢

倒晶格与正晶格的关系

倒晶格与正晶格的基矢满足以下关系

定义三维中的倒晶格向量G

其中(h,k,l)为密勒指数,向量G模长与正晶格的晶面间距有以下关系

向量G和正晶格向量R有以下关系

三维倒晶格中的晶胞体积ΩG和正晶格的晶胞体积Ω有以下关系

倒晶格的物理意义

在此以一维晶格为例。在一个以为基矢的一维晶格中,其波函数应该为布洛赫波

定义其倒晶格向量

以及一个函数

由于是一个布洛赫波包,满足

所以

也是一个布洛赫波包。则波函数有以下性质

可见,倒晶格向量G描述了波函数在以k为基矢的动量空间(k空间)内的周期性。其向量单位,即倒晶格的基矢是描述k空间中平移对称性的基矢。其最小可重复单位,即倒晶格的晶胞,称为第一布里渊区。由于波矢k和动量与波函数对应的能量密切相关,在能带理论中也用来解释能带的周期性。

倒晶格与晶体衍射

晶体衍射满足布拉格定律

定义入射波波矢为,则上述公式可变换为

因此满足布拉格定律的晶体衍射反映的不是正晶格,而是倒晶格。

进一步将以上公式转化为向量形式,定义入射波波矢为,反射波波矢为,可以得到

这个形式也和劳厄方程式相符。

常见布拉菲晶格的倒晶格

简单立方晶体

简单立方晶体的素格子基矢可以写成

体积为

可推得倒晶格的素格子基矢

所以简单立方晶体的倒晶格同样为简单立方晶体,但是晶格常数为

面心立方晶体(FCC)

面心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

体积为

可推得倒晶格之素格子基矢

面心立方晶体的倒晶格为体心立方晶体。

体心立方晶体(BCC)

体心立方晶体的素格子基矢可以写成下列三项

体积为

可推得倒晶格之素格子基矢

可得知体心立方晶体之倒晶格为面心立方晶体。

布拉菲晶格中,三轴互为九十度的 (立方, 正方, 斜方)的晶体结构,是很容易被证明其倒晶格空间之三轴与其真实晶格之三轴有垂直的关系.

参阅

外部链接



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