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值域

数学中,函数的值域(英语:Range)是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。有时候也称为函数的

给定函数,集合被称为是值域,记为。值域不应跟陪域相混淆。一般来说,值域只是陪域的一个子集

例子

假设函数为定义在实数上的函数:

定义为

的陪域为,但明显地不会取到负数值,因此,事实上值域只是非负实数集合,即区间

求函数值域

求函数值域,尤其是复合函数的值域时,首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解,其次要灵活运用基本不等式。

基本方法

初等函数的值域求法一般为:

  1. 观察法
  2. 不等式法
  3. 反函数法
  4. 复合函数法
  5. 配方法
  6. 判别式法
  7. 图像求值

观察法

例如:

所以值域为

不等式法

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数,则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如:

它的反函数为

反函数的定义域为:

则原函数的值域为:

复合函数法

配方法

判别式法

图像求值

画出连续函数的图像,则函数图像纵轴的最小值和最大值(若有)组成的区间即为函数的值域。

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