# 傅里叶级数

## 定义

${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle P=1}$

${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]}$,${\displaystyle P=2\pi }$

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

(Eq.1)

{\displaystyle {\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right).\end{aligned}}}

(Eq.2)

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right),}$

${\displaystyle s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right).}$

(Eq.3)

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi nx}{P}}-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (+n)x}{P}}}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi (-n)x}{P}}}.\end{array}}}$

${\displaystyle {\hat {s}}_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\{\hat {s}}_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx,}$

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.}$

(Eq.4)

### 复数函数

${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx}$ 还有 ${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx}$

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}.}$

{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx.\end{aligned}}}

## 基本性质

### 卷积主条目：卷积

${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)g(x-y)dy}$ 我们也可以借由变量变换去得到 ${\displaystyle (f*g)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-y)g(y)dy}$

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}dy\cdot e^{inx}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)(\sum _{n=-N}^{N}e^{-in(y-x)})dy\\&=(f*D_{N})(x)\end{aligned}}}

### 微分性质

• 如果${\displaystyle f(x)}$属于在${\displaystyle C^{1}(\mathbb {T} )}$，那么${\displaystyle f'(x)}$傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f'}}(n)}$可以被用${\displaystyle f(x)}$傅里叶系数${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$的表示，借由公式${\displaystyle {\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)}$
• 如果${\displaystyle f(x)}$属于在${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)}$。特别的，当固定${\displaystyle k\geq 1}$，我们有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)}$趋近于0当${\displaystyle n\rightarrow \infty }$，且有${\displaystyle {\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})}$

## 收敛

### 概要

${\displaystyle s_{N}(x)}$  在 ${\displaystyle [x_{0},\ x_{0}+P]}$ 近似了 ${\displaystyle s(x)}$ ，该近似程度会随着 N → ∞ 逐渐改善。这个无穷和 ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$ 叫做 ${\displaystyle s}$ 的傅里叶级数表示。在工程应用中，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因是工程上遇到的函数比数学家提供的这个假定的反例表现更加良好。特别地，傅里叶级数绝对收敛且一致收敛于 s(x)，只要在 s(x) 的导数（或许不会处处存在）是平方可积的。  如果一个函数在区间 [x0, x0+P]上是平方可积的，那么此傅里叶级数在几乎所有点都收敛于该函数。傅里叶级数的收敛性取决于函数有限数量的极大值和极小值，这就是通常称为傅里叶级数的狄利克雷条件。参见傅里叶级数的收敛性之一。对于广义函数或分布也可以用范数或弱收敛定义傅里叶系数.

### 傅里叶级数收敛

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

${\displaystyle (e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}}$

${\displaystyle ||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$ 替换一下后有 ${\displaystyle ||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}}$

${\displaystyle ||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}}$，这就证明了Parseval's定理

${\displaystyle |f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|}$

## 范例

### 例1：一个简单的傅里叶级数

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi
${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}

(Eq.1)

x = π 时，傅里叶级数收敛于 0，为在 x = π 处 s 的左极限和右极限之和的一半。这是傅里叶级数的狄利克雷定理的特例。

### 例2：傅里叶诱导

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

## 延伸

### 希尔伯特空间的解读

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}$
${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$

(这里的δmn克罗内克函数)，而

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,}$

## 傅里叶级数的收敛性

1. 在定义区间上，x(t)须绝对可积
2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；
3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

1.当t是x(t)的连续点时，级数收敛于x(t)；
2.当t是x(t)的间断点时，级数收敛于${\displaystyle {\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]}$.

1966年，里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的，即级数在除了一个勒贝格零测集外均收敛。

## 参阅

### 引用

1. ^ 详见莫里斯·克莱因《古今数学思想》，第20章无穷级数，第5节三角级数；第28章十九世纪的偏微分方程，第5节热方程与傅里叶级数。
see here, pg.s 209 & 210, 页面存档备份，存于互联网档案馆
2. ^ 李狗嗨. 如何给文科生解释傅里叶变换？. 知乎专栏. 2019-07-25 [2020-02-07]. （原始内容存档于2020-10-24） （中文）.
3. ^ Georgi P. Tolstov. Fourier Series. Courier-Dover. 1976. ISBN 0-486-63317-9.

### 来源

• 电机电子类科《工程数学》，ISBN 978-957-584-377-9，作者 陈锡冠、曾致煌，高立出版社。