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全形 (数学)

数学群论中,一个群G全形Hol(G)是一个特定的群,同时包含群G和其自同构群Aut(G)。群的全形可用半直积交换群来描述。

以半直积描述

记群G的自同构群为Aut(G),则G的全形Hol(G)是

其中的半直积是对于Aut(G)在G上的自然作用,因此全形上的运算如下:令为Hol(G)的元,其中g, hG的元,G的自同构,则

以交换群描述

G以左乘和右乘作用在自身的元素上,定义出两个从GG上的对称群Sym(G)的群同态。左乘对应的群同态为

右乘对应的群同态为

这两个群同态称为G的左及右正规表示,并且都是单射凯莱定理)。换言之,G同构于G的全形中的正规化子

参考

  • Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215

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