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八元数

各种各样的
基本

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延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

八元数四元数的一个非结合推广,通常记为O,或

也许是因为八元数不提供一个结合性的乘法,它们比四元数引起较少的注意。尽管如此,八元数仍然与数学中的一些例外结构有关,其中包括例外李群。此外,八元数在诸如弦理论狭义相对论和量子逻辑中也有应用。

历史

八元数第一次被描述于1843年,于一封约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中。后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。

定义

八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说,每一个八元数x都可以写成

其中系数xa是实数。

八元数的加法是把对应的系数相加,就像复数四元数一样。根据线性,八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

1 i j k l il jl kl
i −1 k j il l kl jl
j k −1 i jl kl l il
k j i −1 kl jl il l
l il jl kl −1 i j k
il l kl jl i −1 k j
jl kl l il j k −1 i
kl jl il l k j i −1

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法,是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样,八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a, b)和(c, d)的乘积定义为:

其中表示四元数z的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法,由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线(经过ijk的圆也是一条直线),称为法诺平面。这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上,而每一条直线正好通过三个点。

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点,其顺序由箭头的方向指定。那么,乘法由下式给出:

ab = cba = −c

以及它们的循环置换。这些规则与

  • 1是乘法单位元,
  • 对于图中的每一个点,都有

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了O的一个子代数,与四元数H同构。

共轭、范数和逆元素

八元数

的共轭为:

共轭是O的一个对合,满足(注意次序的变化)。

x的实数部分定义为½(x + x*) = x0,虚数部分定义为½(x - x*)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间,记为Im(O)。

八元数x范数定义为:

在这里,平方根是定义良好的,因为总是非负实数:

这个范数与R8上的标准欧几里得范数是一致的。

O上范数的存在,意味着O的所有非零元素都存在逆元素x ≠ 0的逆元素为:

它满足

性质

八元数的乘法既不是交换的:

也不是结合的:

然而,八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说,由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上,我们可以证明,由O的任何两个元素所生成的子代数都与RCH同构,它们都是结合的。由于八元数不满足结合性,因此它们没有矩阵的表示法,与四元数不一样。

八元数确实保留了RCH共同拥有的一个重要的性质:O上的范数满足

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质。它们都有零因子

这样,实数域上唯一的赋范可除代数是RCHO。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。

由于八元数不是结合的,因此O的非零元素不形成一个群。然而,它们形成一个拟群

自同构

八元数的自同构A,是O的可逆线性变换,满足:

O的所有自同构的集合组成了一个,称为G2。群G2是一个单连通紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。

参见

参考文献


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