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分布式参数系统本文重定向自 分佈式參數系統

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分布式参数系统distributed parameter system)不同于集总参数系统,是状态空间为无限维度系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

抽象发展方程

离散时间

假设UXY希尔伯特空间,而 ∈ L(X),  ∈ L(UX),  ∈ L(XY) 和 ∈ L(UY),以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统:

其中(状态)是序列,其值在X内,(输入或是控制)是序列,其值在U内,(输出)为序列,其值在Y内。

连续时间

连续时间的例子类似离散时间,但需要用微分方程表示,不是用差分方程表示:

,

接下来复杂的部分就是将实际的问题(例如偏微分方程或是时滞微分方程)加到上述的抽象发展方程中,作法是强制使用无界算子。一般会假定A状态空间X里的C0半群英语strongly continuous semigroup。假定BCD是有界算子,允许包括多待分析的实际的例子,不过有些实际的例子也会假定BC是无界的。

例子:偏微分方程

的偏微分方程如下

符合上述的抽象发展方程。说明如下:输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合,状态空间X选定是L2(0, 1),A算子定义为: 可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, CD定义为

例子:时滞微分方程

时滞微分方程

符合上述的抽象发展方程。说明如下:输入空间U及输出空间Y都选定是复数的集合,状态空间X选定是L2(−τ, 0)复数的乘积,A算子定义为

可以证明A可以产生X空间内的强连续半群。有界算子B, CD定义为

传递函数

分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同,都是利用拉氏转换(连续时间)或是Z转换(离散时间)来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数,而无限维度的传递函数会是无理函数(不过仍然是全纯函数)。

离散时间

离散时间的传递函数可以用状态空间参数,表示为以下的形式,函数在圆心为原点的圆盘内是全纯的。若1/z在A的resolvent set内(可能是另一个以圆心为原点,较小的圆盘),则传递函数为。任何在零点为全纯的函数都有对应的离散系统,使该函数为离散系统的传递函数。

连结时间

A可产生强连续半群,且BCD为有界算子,则传递函数可以用状态空间参数表示为,其中s的实部比A产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下,上述公式不一定有意义,不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效。

若要得到传递函数的简单表示式,较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换,而不是用状态空间中的参数来表示。

偏微分方程的传递函数

令初始条件为0,将对t进行过拉氏转换的函数用大写表示,可以将偏微分方程转换为以下的形式

这是非齐次线性微分方程,变数为s为参数,且初始条件为零。其解为。用此式来代入有Y 的方式中并且积分,可以得到,因此传递函数为

时滞微分方程的传递函数

类似上述偏微分程的例子,时滞微分方程的传递函数为

可控制性

在有限维的系统中,可控制性的定义只有一种,但无限维的系统中,有几种不相容的可控制性定义。以下是最重要的三种:

  • 精确可控制性(Exact controllability)
  • 近似可控制性(Approximate controllability)
  • 零可控制性(Null controllability)

离散时间下的可控制性

在离散时间系统中,将所有U值序列的集合映射到X的映射相当的重要,其表示式为是初始条件为零时,给定输入序列u下达到的状态。The system is called

  • 系统在时间n内为精确可控制(exactly controllable)若的值域为X
  • 系统在时间n内为近似可控制(approximately controllable)若的值域是X内的稠密集。
  • 系统在时间n内为零可控制(null controllable)若的值包括An的值域。

连续时间下的可控制性

在连续时间系统中,(表示为)有和离散时间系统的一样重要的角色。不过,控制函数所在的空间也会影响定义。一般的选择是L2(0, ∞;U),是在(0, ∞)区间内U值平方可积函数的(等效)空间,不过也有其他的定义,例如L1(0, ∞;U)。当的定义域选定之后,有以下几种不同的可控制性。

  • 系统在时间t内为精确可控制(exactly controllable)若的值域为X
  • 系统在时间t内为近似可控制(approximately controllable)若的值域为X内的稠密集。
  • 系统在时间t内为零可控制(null controllable)若的值包括的值域。

可观察性

就如同有限维度下的情形一样,无限维度的可观察性也是可控制性的对偶概念。无限维度有很多种的可观察性定义,最重要的三个如下:

  • 精确可观察性(exactly observable),也称为连续可观察性(continuous observability)
  • 近似可观察性(approximately observable)
  • 最终状态可观察性(final state observable)

离散时间下的可观察性

在离散时间系统的可观察性中,(将X映射到所有Y值序列空间的映射,若k ≤ n,表示为,在k > n时,数值为0)。意思是是初始条件x,控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性

  • 在时间n有精确可观察性(exactly observable),若存在 kn > 0 ,使得 ,在所有 x ∈ X 时都成立
  • 在时间n有近似可观察性(approximately observable),若单射
  • 在时间n有最终状态可观察性(final state observable),若存在 kn > 0 使得,在所有 x ∈ X 时都成立

连续时间下的可观察性

在连续时间系统的可观察性中,(表示为,其中s∈[0,t],若s>t时为零)的角色和在离散时间系统中的相当。不过运算子作用的函数空间也会影响其定义。常见的选择是L2(0, ∞, Y),是(等效于)在定义域(0,∞)内的Y-值平方可积函数,不过也可以选择其他的函数空间,例如L1(0, ∞, Y)。只要选择了的辅域,就可以定义不同的可观察性,有以下几种可观察性:

  • 在时间t有精确可观察性(exactly observable),若存在kt > 0,使得,在所有 x ∈ X 时都成立
  • 在时间t有近似可观察性(approximately observable),若单射
  • 在时间t有最终状态可观察性(final state observable),若存在 kt > 0 使得 ,在所有x ∈ X 时都成立

可控制性和可观察性的对偶

和有限维度下的情形类似,可控制性和可观察性也是对偶的概念(若域以及辅域都选用一般的函数空间L2时),这些不同概念的对偶如下:

  • 精确可控制性 ↔ 精确可观察性。
  • 近似可控制性 ↔ 近似可观察性。
  • 零可控制性 ↔ 最终状态可观察性。

相关条目

脚注

  1. ^ Curtain and Zwart
  2. ^ Curtain and Zwart Example 2.2.4
  3. ^ Curtain and Zwart Theorem 2.4.6
  4. ^ This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing z by 1/z
  5. ^ Curtain and Zwart Lemma 4.3.6
  6. ^ Staffans Theorem 4.6.7
  7. ^ Curtain and Zwart Example 4.3.13
  8. ^ Tucsnak Definition 11.1.1
  9. ^ Tucsnak Definition 6.1.1
  10. ^ Tucsnak Theorem 11.2.1

参考资料

  • Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995
  • Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009
  • Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005
  • Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999
  • Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000
  • Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007

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