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初等代数本文重定向自 初等代数

初等代数是一个初等且相对简单形式的代数,教导对象为还没有数学算术方面正规知识的学生们。当在算术中只有数字与其运算(如:)出现时,在代数中也会使用字母符号诸如 等表示数字,习惯上用前者表示未知数变量,用后者表示任意的已知数。随着内容的深入,代数中还会使用诸如 映射符号来表示关于某个字母符号的代数式

这是很有用的,因为:

  • 它使得算术等式(或不等式)可以被描述成命题定理(如: 实数 ),因此这是系统化学习实数性质的第一步。
  • 它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里,变量或许代表某一还不确定,但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
  • 它允许探究数量之间的数学关系的可能(如“若你卖了 张票,你的收益将有 元”)。

这三个是初等代数的主要组成部分,以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。

在初等代数里,表示式包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项(习惯上)写在表示左边(参考多项式),举几个例子来说:

在更进阶的代数里,表示式也会包含有初等函数

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立(如 );这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确(如 ),此一使等式成立的变量值则称为这等式的

初等代数定理

与代数运算相关的定理

  • 加法是一可交换的运算(两个数不论顺序为何,它加起来的总和都一样)。
    • 减法是加法的逆运算。
    • 减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的:
例如:若 ,则
  • 乘法是一可交换的运算。
    • 除法是乘法的逆运算。
    • 除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的:
例如:若 ,则
  • 不是一可交换的运算。
    • 但幂却有两个逆运算:对数开方(如平方根)。
      • 例如:若 ,则
      • 例如:若 ,则
    • 负数的平方根不存在于实数内。(参考:复数
  • 加法的结合律性质:
  • 乘法的结合律性质:
  • 对应加法的乘法分配律性质:
  • 对应乘法的幂分配律性质:
  • 幂的乘法:
  • 幂的幂:

与“等于”相关的定理

  • ,则 等于传递律)。
  • (等于的自反性)。
  • ,则 (等于的对称性)。
  • ,则

其他定理

  • ,则
    • ,则对任一 c(等于的可加性)。
  • ,则 =
    • ,则对任一 c(等于的可乘性)。
  • 若两个符号相等,则一个总是能替换另一个(替换原理)。
  • ,则 不等式的传递律)。
  • ,则对任一 c
  • ,则
  • ,则

例子

一元一次方程

最简单的方程为一元一次方程,它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如:

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除,以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了,等式的另一边即是此变量的值。例如,将上面式子两边同时减去4:

简化后即为

再同时除以2

再简化后即为答案:

一般的情形

也可以依同样的方式得出答案来:

【这就是一元一次方程简单的说明】

一元二次方程

一元二次方程可以表现成 在这 不等于零(假如 等于零,则此方式为一次方程,而非二次方程)。二次方程必须保持二次的形态,如 ,二次方程可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程),或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例:

这相当于

0 和 -3 是它的解,因为把 置为 0 或 -3 便使上述等式成立。 所有二次方程在复数体系中都有两个解,但是在实数系统中却不一定,例如:

没有实数解,因为没有实数的平方是 -1。 有时一个二次方程会有2重根,例如:

在这个方程中,-1是2重根。

线性方程组

线性方程组内,如两个变量的方程组内有两个方程的话,通常可以找出可同时满足两个方程的两个变量。

下面为线性方程组的一个例子,有两个求解的方法:

求解的第一种方法

将第2个等式的左右项各乘以2,

再将两式相加,

上式可化简为

因为已知,于是就可以由两式中的任意一个推断出。所以这个问题的完整解为

注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法; 也可以在 之前求得。

求解的第二种方法

另一种求解的方法为替代。

的等值可以由两个方程中的其中一种推出。我们使用第二个方程:

由方程的两边减去

再乘上 -1:

将此 值放入原方程组的第一个方程:

在方程的两端加上 2:

此可简化成

将此值代回两个方程中的一个,可求得和上一个方法所求得的相同解答。


注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;在这个方法里也是一样的, 也可以在 之前求得。

另见

参考

脚注

  1. ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.

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