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十二边形

正十二边形
Regular polygon 12 annotated.svg
一个正十二边形
类型正多边形
12
顶点12
对角线54
施莱夫利符号{12}
t{6}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png
对称群二面体群 (D12), order 2×12
面积
内角150°
内角和1800°
对偶正十二边形 (本身)
特性圆内接多边形等边多边形英语Equilateral polygon、等角多边形、isotoxal figure英语isotoxal figure

几何学中,十二边形是指有十二条边和十二个顶点多边形,其内角和为1800度。十二边形有很多种,其中对称性最高的是正十二边形。其他的十二边形依照其类角的性质可以分成凸十二边形和非凸十二边形,其中凸十二边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸十二边形可以在近一步分成凹十二边形和星形十二边形,其中星形十二边形表示边自我相交的十二边形。而一般的十字形为凹十二边形常见的一个例子。

正十二边形

正十二边形是指所有边等长、所有角等角的十二边形,由十二条相同长度的边和十二个相同大小的角构成,是一种正多边形。正十二边形的内角是弧度,换算成角度是150。在施莱夫利符号中用 来表示。由于正十二边形可看作是截去所有顶点的正六边形,即截角正六边形,因此施莱夫利符号中也可以计为 。而因为正六边形亦可以将正三角形透过截角变换来构造,即切去正三角形的三个顶点,因此正十二边形可以视为正三角形经过2次的截角变换的结果,在施莱夫利符号中亦可以写为

面积

若已知正十二边形的边长a,则正十二边形的面积为:

若已知内切圆半径边心距为r,则其面积为:

若已知外接圆半径为R,其面积为:

三国时代数学家刘徽计算出半径圆形,其内接正12边形的面积为。正十二边形面积等于最长对角线平方的四分之三。

十二边形的宽度是两个平行边之间的距离,正好会等于两倍的边心距。因此已知正十二边形的宽度和边长也可以球出面积:

也可以利用三角关系进行验证:

周长

若已知外接圆半径R,正十二边形的周长

若已知边心距r,正十二边形的周长为:

该系数是已知边心距求面积公式中系数的两倍。

尺规作图

尺规作图可先在圆形内制作正六边形,再将各边二等分线延伸至圆周以完成正十二边形的顶点

以尺规作图作出正12边形。

Regular Dodecagon Inscribed in a Circle.gif

分割

正十二边形的分割
Hexagonal cupola flat.png
正六边形正方形正三角形
Wooden pattern blocks dodecagon.JPG
图型块英语pattern blocks
Rhomb dissected dodecagon.png
六维超立方体英语6-cube投影图中的15个菱形
Rhomb dissected dodecagon3.png
15个菱形

密铺平面

有一些正多边形镶嵌图含有正十二边形

Tile 3bb.svg
截角六边形镶嵌3.12.12
Tile 46b.svg
大斜方截半六边形镶嵌: 4.6.12
Dem3343tbc.png
六角化大斜方截半六边形镶嵌:
3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

对称性

一般的十二边形对称性以对边和顶点的颜色显示。约翰·何顿·康威以字母来标记这些形状的对称性。

正十二边形具有Dih12对称性,阶数为24.

有15个不同的子群二面体群和环状对称。每个子组对称性允许一个或多个自由不规则形式。只有G12子群没有自由度,但可以看作是有向边

不同对称性的十二边形
Full symmetry dodecagon.png
r24
Hexagonal star dodecagon.png
d12
Gyrated dodecagon.png
g12
Truncated hexagon dodecagon.png
p12
Cross dodecagon.png
i8
Hexagonal star d6 dodecagon.png
d6
Twisted hexagonal star dodecagon.png
g6
Truncated triangular star dodecagon.png
p6
D4 star dodecagon.png
d4
Twisted cross dodecagon.png
g4
H-shape-dodecagon.png
p4
Twisted triangle star dodecagon.png
g3
D2 star dodecagon.png
d2
Distorted twisted cross dodecagon.png
g2
Distorted H-shape-dodecagon.png
p2
No symmetry dodecagon.png
a1

扭歪十二边形

一个正扭歪十二边形,位于六角反柱上

扭歪十二边形,又称不共面十二边形,是指顶点并非完全共面的十二边形。

皮特里多边形

扭歪十二边形经常出现在高维多胞体正交投影皮特里多边形。例如十一维正十二胞体的皮特里多边形就是一个扭歪十二边形,其具有A11 [310] 的考克斯特群的对称性。

高维度的扭歪十二边形
E6英语E6 (mathematics) F4英语F4 (mathematics) 2G2 (4D)
E6 graph.svg
221英语2 21 polytope
Gosset 1 22 polytope.png
122英语1 22 polytope
24-cell t0 F4.svg
正二十四胞体
24-cell h01 F4.svg
扭棱二十四胞体英语Snub 24-cell
6-6 duopyramid ortho-3.png
六角六角锥体锥英语6-6 duopyramid
6-6 duoprism ortho-3.png
六角六角柱体柱英语6-6 duoprism
A11 D7 B6
11-simplex t0.svg
十一维正十二胞体
7-cube t6 B6.svg
(411)英语7-orthoplex
7-demicube t0 D7.svg
141英语7-demicube
6-cube t5.svg
六维正轴体英语6-orthoplex
6-cube t0.svg
六维超立方体英语6-cube

使用

  • 澳大利亚元的50分硬币形状为正十二边形。
  • 澳门币五圆和二毫的形状为正十二边形
  • 二毫二元港币的形状为正十二边形(严格地说,是每边向内凹陷的正十二边形)
  • 嵩岳寺塔的底为正十二边形。

参见

外部链接



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