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实质条件本文重定向自 反蕴涵

文氏图

命题演算,或在数学的逻辑演算中,实质条件实质蕴涵(容易和语意蕴涵搞混,建议不要用蕴涵这两字)或蕴涵算子是一种二元真值泛函逻辑运算符,它有着如下形式:

若A,则B。

这里的A和B是陈述变量(可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代)。在这种形式的陈述中,第一项这里的A,叫做前件;第二项这里的B,叫做后件

这个算子使用右箭头“→”(有时用符号“⇒”或“⊃”)来符号化,其语义仅为“如果A为真,那么B亦为真”。它的常见写法见下:

须注意的是,更常用于语意蕴含(等同符号)。这也是大多数初学者易搞混的点。

真值表

涉及实质蕴涵的真值表定义如下:

(符合了“如果A为真,那么B必为真”)
F F T
F T T
T F F
T T T

由此可见, 等价于

形式性质

实质条件不要混淆于蕴涵关系。但在多数逻辑包括经典逻辑中二者之间有密切关联。例如下列原理成立:

  • 如果对于某些。(这是演绎定理的特定形式。)
  • 上述的逆命题
  • 而二者都是单调的;就是说如果,并且如果对于任何α, Δ。(用结构规则的术语说,这叫做弱化。)

但是这些原理不在所有逻辑中成立。它们显著的不成立于非单调逻辑中,也不成立于相干逻辑中。

实质蕴涵的其他性质:

  • 分配律
  • 传递律:(
  • 幂等律
  • 真理保持:在其下所有变量被指派为真值‘真’的释义生成真值‘真’作为实质蕴涵的结果。
  • 交换律:(

注意 逻辑等价;这个性质有时叫做柯里化。由于这些性质,对→符号采用右结合约定是合适的。

对自然语言的符号表示

在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本,学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的,这通常包括实质条件、析取合取否定和(经常的)双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号存在量词全称量词

用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括,“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件,另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如,“A仅当B”被如下陈述捕获

A → B

而“A当B”被如下陈述正确捕获

B → A

蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。

中文 数学表达式
如果天下雨,我就带伞 天下雨→我带伞
学生只有喜欢数学,才会学好物理
学生物理学得好是因为他喜欢数学
物理学得好→喜欢数学
如果老婆说对,我就要听 老婆说对→我就听

同其他条件陈述的比较

使用这个算子是逻辑学家规定的,作为结果,它产生了一些有争议的真值推理陈述句。比如前件明显为假设的,任何实质条件的整句陈述结果都是真值成立的。所以陈述句如“假设 是奇数,则蕴涵了 是偶数”这样违反自然语言直觉的推理蕴涵是真的。类似的,后件为真的任何实质条件陈述都是真的。所以陈述“如果猪接管了农场并谋杀了农民,则巴黎是在法国”是真的。

这些有争议的真值推理陈述句出现,是因为自然口语的人经常易受诱惑,而把实质条件直陈条件或其他条件陈述如反事实条件,混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 要么是情况 (或二者)”,或更简单的“要么 为假 要么 为真(或二者)”。(当 为假,此式即已被浅薄的(trivial)满足。这种陈述等价的自然口语方式,即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 而获得的。)

引用

  • Brown, Frank Markham(2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
  • Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
  • Quine, W.V.(1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
  • Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5(1975): 269–286.

外部链接


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