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反证法本文重定向自 反证法

反证法(又称背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

反证法与归谬法相似,但归谬法不仅包括推理出矛盾结果,也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理据

给出命题 和命题 (非 ),根据排中律,两者之中起码有一个是真(更强的说法为,除了真和假之外并无其他的情况),所以如果其中一个是假的,另一个就必然是真。给出命题 和命题 (非 ),根据无矛盾律,两者同时为真的情况为假。给出命题 ,根据否定后件律,如果若 成立时出现 ,则 为假时 即为假。反证法在要证明 时,透过显示出若 成立时出现矛盾(),即 为假,从而证明 为真。

例子

无理数的证明(古希腊人)

证明:假设有理数,那么可以写成 p/q 的形式,其中 p、q 皆为正整数且 p、q 互质。那么有

  • p=×q
  • p²=2×q²

可得 p² 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以 p 也是偶数。因此可设 p=2s,代入上式,得:q²=2s²。所以 q ²也是偶数,故可得 q 也是偶数。这样 p、q 都是偶数,不互质,这与假设 p、q 互质矛盾,假设不成立。因此为无理数。

其他可用反证法证明的例子

数学上有许多的定理可用反证法来证明,以下是一小部分的例子:

  1. 证明有无限多个质数。
  2. 任意6人当中,求证或者有3人两两相识,或者有3人互不相识。
  3. 现有90张纸,每张纸都写有一个非负整数,已知这90个数之和小于1980,证明至少有三张数目相同的纸。
  4. 集合 S = {x:0<x<1} 没有最小值。
  5. 设 n 是大于1的整数,若所有小于或等于的质数都不能整除 n,则 n 是质数。
  6. 已知三角形ABC是锐角三角形,且∠A>∠B>∠C。求证:∠B>45。
  7. 已知 a、b 为正实数,求证:
  8. 已知 a、b、c、d 是实数,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。
  9. 一个群若同时是交换群单群,则该群是循环群
  10. 若一个循环群是单群,则该群的阶为质数
  11. 若一个循环群的阶为质数,则该群为单群
  12. 鸽笼原理

引文

相关条目

进一步阅读

  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6

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