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可解群

群论
Rubik's cube.svg

数学的历史中,群论原本起源于对高于四次的一元多项式方程无一般的公式解之证明的找寻,最终随着伽罗瓦理论的提出而确立。可解群的概念产生于描述其根可以只用根式(平方根、立方根等等及其和与积)表示的多项式所对应的自同构群所拥有的性质。

一个群被称为可解的,若它拥有一个其商群皆为阿贝尔群的正规列。或者等价地说,若其降正规列

之中,每一个子群都会是前一个的导群,且最后一个为G的平凡子群{1}。上述两个定义是等价的,对一个群HH正规子群N,其商群H/N为可交换的当且仅当N包含着H(1)

对于有限群,有一个等价的定义为:一可解群为一有着其商群皆为素数循环群合成列的群。此一定义会等价是因为每一个简单阿贝尔群都是有素数阶的循环群。若尔当-赫尔德定理表示若一个合成列有此性质,则其循环群即会对应到某个体上的n个根。但此一定义的等价性并不必然于无限群中亦会成立:例如,因为每一个在加法下的整数群Z的非当然子群皆同构Z本身,它不会有合成列,但是其有着唯一同构于Z的商群之正规列{0,Z},证明了其确实是可解的。

乔治·波里亚的格言“若有一个你无法算出的问题,则会有的你可以算出的较简单的问题”相一致的,可解群通常在简化有关一复杂的群的推测至一系列有着简单结构-阿贝尔群的群的推测有着很有用的功用。

例子

所有的阿贝尔群都是可解的——其次正规群列为自身和平凡子群。但非阿贝尔群则不一定都是可解的。

更一般地,所有幂零群都是可解的。特别地是,所有的有限p-群都是可解的,因为所有的有限p-群都会是幂零的。

可解但不为幂零的群的一个小例子为对称群S3。实际上,因最小的非阿贝尔的单群为A5(5个元的交错群)时,所有小于60阶的群皆为可解的。

S5不是可解的-它有一合成列{E,A5,S5}(若尔当-赫尔德定理指出每个其他的合成列都会等价于此一合成列),给出了同构于A5C2的商群;而A5为非可换的。广义化此一论述,结合Ann > 4时为Sn的正规、最大且非阿贝尔简单子群的事实,可知n > 4的所有Sn皆不可解,此亦为证明每一个n > 4的n多项式都不可以以方根得解的关键步骤。

著名的范特-汤普逊定理指出,每一个奇数阶的有限群皆是可解的。特别地,此定理指出,若一有限群为单群,其必为素数阶循环群或是偶数阶的。

性质

可解性的性质在某一意义上是可继承的,如下:

  • G为可解的,且HG的子群,则H也是可解的。
  • G是可解的,且HG的正规子群,则G/H也是可解的。
  • G是可解的,且存在一G满射H同态,则H也是可解的。
  • HG/H为可解的,则G也是可解的。
  • GH为可解的,则其直积G × H也是可解的。

超可解群

做为可解性的加强版,一个群G被称为超可解的,若它有一其商群皆为循环群的不变正规列;换句话说,if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G,且每个Ai+1/Ai都不只是可交换而已,且也是循环的(可能为无限阶)。因为一正规列在定义中有有限的长度,所以不可数阿贝尔群不会是超可解的。实际上,所有的超可解群皆为有限产生群,且一个阿贝尔群为超可解的当且仅当其为有限产生的。

若限制在有限产生群中,将可以有下列的排序:

循环群 < 阿贝尔群 < 幂零群 < 超可解群 < 多循环群 < 可解群 < 有限生成群

外部链接

  • A056866 - orders of non-solvable finite groups.

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