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同伦本文重定向自 同伦论

图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

同伦(英语:homotopic,源自希腊语ὁμός homós,意为“相同,相似的”与希腊语τόπος tópos,意为“方位”)。在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。 在拓扑学中,两个定义在拓扑空间之间的连续函数,如果其中一个能“连续地形变”为另一个,则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群上同伦群英语Cohomotopy group的定义,它们是代数拓扑中重要的不变量英语Invariant (mathematics)

事实上,在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间CW复形英语Spectrum_(topology)

定义

两个将环面映射到R3嵌入之间的同伦:“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

给定两个拓扑空间 。考虑两个连续函数 ,若存在一个定义在空间 X单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 使得:

则称之间的一个同伦:183

如果我们将 H 的第二个参数当作时间,这样 H 相当于描述了一个从 fg连续形变:0 时刻我们得到函数f,1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”,当控制条从0滑动至1时,函数 f 平滑地转变为函数 g,反之亦然。

另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 的路径:

右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面,YR3f,g 是从环面到 R3的连续函数,当动画开始时,f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中,时间 t 从 0 变成 1,暂停一会,又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 Hf 变换为 g时,称连续函数 fg 是同伦的。同伦是 XY 上所有的连续函数之间的一种等价关系:184。以下情形中,同伦关系满足函数的复合

如果 f1, g1 : XY 是同伦的,并且 f2, g2 : YZ 是同伦的,则他们的复合 f2f1g2g1 : XZ 也是同伦的。

例子

例一:取 , , 。则 透过下述函数在 中同伦。

(注意到此例子不依赖于变量 ,通常并非如此。)
:“在中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。


例二:取,,。则描绘一个以原点为圆心的单位圆; 停在原点。 透过下述连续函数同伦:

几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 的圆。

相对同伦

为定义高阶基本群,必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化,正式定义是:设是连续函数,固定子空间 ;若存在前述同伦映射 ,满足:

则称 相对于 同伦。若取 ,则回到原先的同伦定义。

空间的同伦等价

给定两个拓扑空间,我们称之同伦等价(或称具相同伦型),当且仅当存在两个连续映射,使得:

  • 同伦到 的恒等映射
  • 同伦到 的恒等映射

同胚蕴含同伦,反之则不然,详见以下例子:

例三

  • 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到,即去掉一点的平面。
  • 线段、闭圆盘及闭球间两两同伦等价,它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变,包括有:单连通同调群及上同调群等等。

同痕

同痕(Isotopy)是同伦的加细版;我们进一步要求所论的函数嵌入,并要求两者间可用一族嵌入映射相连。

定义如此:被称为同痕的,当且仅当存在连续映射使之满足:

  • 对所有,映射是个嵌入映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要:若两个结同痕,则我们视之相等;换言之,可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。

注释

  1. ^ 1.0 1.1 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.

参见


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