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四角化立方体

四角化立方体
四角化立方体
(按这里观看旋转模型)
类别卡塔兰立体
对偶多面体截角正八面体
数学表示法
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法kC
dtO
性质
24
36
顶点14
欧拉特征数F=24, E=36, V=14 (χ=2)
二面角143°07′48″
组成与布局
顶点图V4.6.6
面的种类V4.6.6
DU08 facets.png

等腰三角形
面的布局英语Face configuration6{4}+8{6}
对称性
对称群Oh, B3, [4,3], (*432)
旋转对称群英语Rotation_groupsO, [4,3]+, (432)
特性
、面可递
图像
立体图 DU08 facets.png
V4.6.6
顶点图
Truncated octahedron.png
截角正八面体
(对偶多面体)
Tetrakishexahedron net.png
(展开图)

几何学中,四角化立方体又称为四角化六面体是一种卡塔兰立体,其对偶多面体截角正八面体,由24个全等的等腰三角形组成,具有36条边和14个顶点,可以视为在正方体的每个面上加入正四角锥的结果。此外四角化立方体亦可以视为正方形四边各加一个等腰三角形拼成的正八边形立体几何中的推广。

性质

四角化立方体是一个卡塔兰立体,由24个、36条边和14个顶点组成,其中24面为24个全等等腰三角形,是一种二十四面体,其对偶多面体截角八面体。在四角化立方体的14个顶点中,有6个顶点是4个等腰三角形的公共顶点,对应的顶角是四面角;另外8个顶点是6个等腰三角形的公共顶点,对应的顶角是六面角。

此外四角化立方体可以视为在正方体的每个面上加入适当锥高的正四角锥的结果,其加入的正四角锥锥高不能高过原本的正方体表面到其外接球的距离,为四分之一倍的立方体边长,若超过则会变成菱形十二面体或星形的四角化立方体。

此外,立方体、八面体和星形八面体都可以以顶点共用的方式,内接在四角化立方体内。

体积与表面积

若四角化立方体的最短的边长为a,则其表面积A体积V为:

表面积
体积为

若其对偶多面体的截角正八面体边长为a,则对应的四角化立方体之体积V为:

体积为

面的组成

四角化立方体由24个全等等腰三角形组成。

DU08 facets.png

组成四角化立方体的等腰三角形的2个底角为arccos约为48.19°,由三角形内角关系可知顶角约为83.62°,边长比为1:1:

顶点坐标

若一个四角化立方体对应的对偶多面体边长为单位长(对应的四角化立方体最短边长为单位)且几何中心位于原点,则其顶点坐标为:

对称性

四角化立方体具有Td, [3,3] (*332)的四面体群对称性英语tetrahedral symmetry,其24个等腰三角形代表四面体对称的24个基本域。 在球面上,四角化立方体可以透过6个球面大圆来构建。相同的结构也可以透过将立方体在每个正方形面上以正方形的几何中心为基准将正方形分成四个三角形、或透过将正四面体在每个三角形面上以正三角形的顶点、边中点和几何中心为基准将正三角形分成6个三角形来看出。

Tetrahedral reflection domains.png Disdyakis cube.png Tetrakis hexahedron tetrahedral.png Tetrakis hexahedron cubic.png

四角化立方体可以投影到球面上,形成球面多面体。在球极平面投影中,四角化立方体的棱可以在平面上形成6个圆或中心径向线,每个圆或中心径向线皆代表四面体群对称性的镜射线。这6个圆可以分成3组每两两一对的正交圆,这三组正交圆,每组在球面上皆可以视为1个正四面形。

球极平面投影 透视投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram
Tetrakis hexahedron stereographic D4-3color.png Tetrakis hexahedron stereographic D3-3color.png Tetrakis hexahedron stereographic D2-3color.png Spherical tetrakis hexahedron-3edge-color.png Tetrakis hexahedron-3edge-color.png Tetrakis Hexahedral Graph.svg
[4] [3] [2] 歪斜

正交投影

四角化立方体有三种高对称性的正交投影,分别为两种在顶点上的正交投影以及一种在棱上中点的正交投影。 后两者的对偶图其对称性对应于B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane

正交投影
投影对称性 [2] [4] [6]
四角化立方体 Dual cube t12 e66.png Dual cube t12 B2.png Dual cube t12.png
截角八面体 Cube t12 e66.png 3-cube t12 B2.svg 3-cube t12.svg

使用

四角化立方体骰子

矿物学中,这种形状又称为四六面体(英语:tetrahexahedron),部分的矿石可以结晶成这种形状,例如部分的钙铁榴石,以及能在部分的铜和氟的结晶系统中被观测到。

此外,亦有部分24个面的多面体骰子被设计为四角化立方体的外型。

相关多面体与镶嵌

四角化立方体可以经由八面体的对偶多面体——立方体透过四角化变换构造,即将立方体每个面贴上正四角锥来获得。其他也是由正八面体或其对偶多面体透过康威变换得到的多面体有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

四角化立方体是由等腰三角形组成,且对偶多面体由正方形正六边形组成。同样由等腰三角形组成,且对偶多面体由正多边形与正六边形组成的多面体或镶嵌图包括:

*n32变异对称性 n.6.6 的截角镶嵌:
对称性
*n42
[n,3]
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
[12i,3] [9i,3] [6i,3]
截角镶嵌 Hexagonal dihedron.svg Uniform tiling 332-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Uniform tiling 63-t12.svg Truncated order-7 triangular tiling.svg H2 tiling 238-6.png H2 tiling 23i-6.png H2 tiling 23j12-6.png H2 tiling 23j9-6.png H2 tiling 23j-6.png
顶点英语Vertex configuration 2.6.6 3.6.6 4.6.6 5.6.6 6.6.6 7.6.6 8.6.6 ∞.6.6 12i.6.6 9i.6.6 6i.6.6
n角化
镶嵌
Hexagonal Hosohedron.svg Spherical triakis tetrahedron.png Spherical tetrakis hexahedron.png Spherical pentakis dodecahedron.png Uniform tiling 63-t2.svg Order3 heptakis heptagonal til.png H2checkers 334.png H2checkers 33i.png
英语Face configuration V2.6.6 V3.6.6 V4.6.6 V5.6.6 V6.6.6 V7.6.6 V8.6.6 V∞.6.6 V12i.6.6 V9i.6.6 V6i.6.6

对偶复合体

四角化立方体的对偶复合体,为四角化立方体和截角八面体组合成的复合图形,称为复合截角八面体四角化立方体。其共有38个面、72条边和38个顶点,其尤拉示性数为4,亏格为-1。

Dual compound truncated 8 max.png

四角化立方体图

四角化立方体图
Tetrakis Hexahedral Graph.svg
分布4 (6个)
6 (8个)
顶点14
36
半径3
直径3
围长3
色数3
色指数6
对偶图截角八面体图英语Truncated octahedral graph
属性平面, 可积英语Integral graph

图论的数学领域中,与四角化立方体相关的图为四角化立方体图(Disdyakis Dodecahedral Graph),是四角化立方体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一个阿基米德对偶图。

性质

四角化立方体图有36条边和14个顶点,其中为4的顶点有6个、度为6的顶点有8个。

Dual cube t12.png

特征多项式为:

参见

外部链接


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