万维百科

四角化菱形十二面体本文重定向自 四角化菱形十二面體

(重定向自六角化八面體)
四角化菱形十二面体
四角化菱形十二面体
(按这里观看旋转模型)
类别卡塔兰立体
对偶多面体大斜方截半立方体
数学表示法
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
康威表示法mC
性质
48
72
顶点26
欧拉特征数F=48, E=72, V=26 (χ=2)
二面角155° 4' 56"
组成与布局
顶点图V4.6.8
面的种类
DU11 facets.png

不等边三角形
面的布局英语Face configurationV4.6.8
对称性
对称群Oh, B3, [4,3], *432
旋转对称群英语Rotation_groupsO, [4,3]+, (432)
特性
、 面可递
图像
立体图 DU11 facets.png
V4.6.8
顶点图
Truncatedcuboctahedron.jpg
大斜方截半立方体
(对偶多面体)
Disdyakisdodecahedron net.png
(展开图)

几何学中,四角化菱形十二面体是一种由48个不等边三角形组成的卡塔兰多面体,又称为六八面体(hexoctahedron)、六角化八面体(hexakis octahedron)、八角化立方体(octakis cube、octakis hexahedron)、菱形四角化十二面体(kisrhombic dodecahedron),虽然其具有面可递的性质,然而由于其组成的面不是正多边形因此不能算是正多面体,其对偶多面体为大斜方截半立方体

性质

四角化菱形十二面体卡塔兰立体的一种,即阿基米德立体对偶多面体,其对应的阿基米德立体为大斜方截半立方体。并具有面可递的性质,这意味着,这立体上的任意两个面A和B,透过旋转或镜射这个立体,使A移动到B原来的位置时,其面仍然占据了相同的空间区域。所有的正多面体都拥有这个特性,然而四角化菱形十二面体并未所有边等长、组成的面也非正多边形,因此不属于正多面体。

组成

四角化菱形十二面体共由48个、72个、26个顶点组成,其中48个面为全等的三角形、72条边则有3种长度,每个长度各24条、26个顶点当中,有12个四面角顶点、8个六面角顶点、和 6个八面角顶点。

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成,其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形或在菱形十二面体的每个面上叠上一个菱形锥来组成四角化菱形十二面体。

体积与表面积

一个最短边边长为单位长的四角化菱形十二面体,其表面积A、体积V为:

对称性

四角化菱形十二面体具有Oh, B3, [4,3] (*432)的八面体群对称性英语Octahedral_symmetry。其每条棱皆代表八面体群对称性的镜射线。其结构也可以透过将立方体在每个正方形面上以正方形的顶点、边中点和几何中心为基准将正方形分成8个三角形、或透过将正八面体在每个三角形面上以正三角形的顶点、边中点和几何中心为基准将正三角形分成6个三角形、或透过将菱形十二面体在每个菱形面上以菱形的几何中心为基准将菱形分成四个三角形来看出。

Disdyakis dodecahedron.png
四角化菱形十二面体
Spherical disdyakis dodecahedron2.png
球面镶嵌
Disdyakis dodecahedron cubic.png
立方体
Disdyakis dodecahedron octahedral.png
正八面体
Rhombic dodeca.png
菱形十二面体

球极投影

与四角化菱形十二面体对应的球面镶嵌可透过透过9个球面大圆来构建(即四角化菱形十二面体投影到球面的结果),因此在球极平面投影中,四角化菱形十二面体的棱可以在平面上形成9个圆或中心径向线。这9个圆或中心径向线可以分成两组,其中一组由3个圆或中心径向线组成(下图以紫色表示)、另一组由6个圆或中心径向线组成(下图以红色表示),分别代表其两个正交子群,分别是[2,2]英语Dihedral_symmetry_in_three_dimensions[3,3]英语tetrahedral symmetry

球极投影
平行投影 球极平面投影
图像 Spherical disdyakis dodecahedron Disdyakis dodecahedron stereographic D4.png Disdyakis dodecahedron stereographic D3.png Disdyakis dodecahedron stereographic D2.png
投影对称性 [4] [3] [2]

正交投影

四角化菱形十二面体及其对偶多面体大斜方截半立方体存在多个能投影出对称正交投影的投影方向。前两者的对偶图其对称性对应于A2和B2考克斯特平面英语Coxeter plane

正交投影
投影对称性 [4] [3] [2] [2] [2] [2] [2]+
图像 Dual cube t012.png Dual cube t012 B2.png Dual cube t012 f4.png Dual cube t012 e46.png Dual cube t012 e48.png Dual cube t012 e68.png Dual cube t012 v.png
对偶图像 3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Cube t012 f4.png Cube t012 e46.png Cube t012 e48.png Cube t012 e68.png Cube t012 v.png

面的组成

四角化菱形十二面体由48个全等的不等边三角形组成。

DU11 facets.png

该三角形三边皆不等长。若其对偶多面体的大斜方截半立方体边长为单位长,则对应的四角化菱形十二面体组成面,最短边长为、次长边长为、最长边长为。若最短边长为单位长,则对应的短边长为1、次长边长为、最长边长为,三个角角度分别为(55.02° ,37.77° ,87.20°)。

相关多面体与镶嵌

Conway polyhedron m3O.png Conway polyhedron m3C.png
领结立方体和领结八面体的对偶多面体是一个外观与四角化菱形十二面体类似的多面体,其包含了额外的三角形对。

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成,其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形,而菱形十二面体可以经由立方体透过会合变换构造,即将立方体每个面贴上角锥,并用适当的锥高,使角锥侧面与邻近面上贴的角锥之测面共面来获得。亦可以从其对偶多面体大斜方截半立方体经对偶变换而来,而四角化菱形十二面体也可以变换回其对偶大斜方截半立方体,而大斜方截半立方体也是立方体经过康威变换的结果。因此四角化菱形十二面体可以视为一个以立方体为出发点经由2次康威变换来完成。其他也是由立方体为出发点经由有限次的康威变换产生的多面体有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
Rhombic dodecahedron with 3 colors.svg Disdyakis dodecahedron 3color.png Three flattened octahedra compound.png DU21 great rhombihexacron.png
菱形十二面体 四角化菱形十二面体 星形四角化菱形十二面体 反平行四边形二十四面体

在面的布局中,四角化菱形十二面体可以写成V4.6.8 ,其意义为其面由3个顶点组成,每个顶点依序是:四个面的公共顶点、六个面的公共顶点和八个面的公共顶点。其可以进一步的列在V4.6.2n的无穷序列中n为4的位置。

*n32变异对称性4.6.2n的全截镶嵌系列:
对称性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
图像 Spherical truncated trigonal prism.png Uniform tiling 332-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Uniform polyhedron-63-t012.png H2 tiling 237-7.png H2 tiling 238-7.png H2 tiling 23i-7.png H2 tiling 23j12-7.png H2 tiling 23j9-7.png H2 tiling 23j6-7.png H2 tiling 23j3-7.png
顶点英语Vertex configuration 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14英语Truncated triheptagonal tiling 4.6.16英语Truncated trioctagonal tiling 4.6.∞英语Truncated triapeirogonal tiling 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
对偶 Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical tetrakis hexahedron.png Spherical disdyakis dodecahedron.png Spherical disdyakis triacontahedron.png Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg H2checkers 237.png H2checkers 238.png H2checkers 23i.png H2 checkers 23j12.png H2 checkers 23j9.png H2 checkers 23j6.png H2 checkers 23j3.png
英语Face configuration V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i

四角化菱形十二面体图

四角化菱形十二面体图
Disdyakis Dodecahedral Graph.svg
分布4 (12个)
6 (8个)
8 (6个)
顶点26
72
半径4
直径4
围长3
色数3
对偶图大斜方截半立方体图
属性平面, 可积英语Integral graph

图论的数学领域中,与四角化菱形十二面体相关的图为四角化菱形十二面体图(Disdyakis Dodecahedral Graph),是四角化菱形十二面体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一个阿基米德对偶图。

性质

四角化菱形十二面体图有72条边和26个顶点,其中为4的顶点有12个、度为6的顶点有8个、度为8的顶点有6个。

Graph of the disdyakis dodecahedron.svg

特征多项式为:

参见

外部链接


本页面最后更新于2021-08-27 07:12,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器