万维百科

圆锥曲线

圆锥曲线

圆锥曲线英语:conic section),又称圆锥截痕圆锥截面二次平面曲线,是数学几何学中透过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括椭圆抛物线双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名与研究,其发现者为古希腊数学家阿波罗尼奥斯,当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率)的点的集合是圆锥曲线。对于得到椭圆,对于得到抛物线,对于得到双曲线。

定义

定点为定直线为正常数,称满足的动点的轨迹为圆锥曲线

其中为其焦点准线离心率

由此可知,圆锥曲线的极坐标参数方程(正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起)。 其中与极轴的夹角为定直线,即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得,

时,曲线为抛物线
时,
时,曲线为椭圆
时,曲线为双曲线

圆锥曲线的类型

圆锥曲线 方程 离心率e 焦距c 半正焦弦( 焦点准线距离(p
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。

抛物线:截面仅与圆锥面的一条母线平行,结果为抛物线。

双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆(ellipse)

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。

抛物线(Parabola)

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线(Hyperbola)

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长(2a)。

离心率

有固定焦点F和准线的圆(e=0) 椭圆(e=1/2)抛物线 (e=1)双曲线(e=2)

对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是,这里的是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是

在圆的情况下,且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的越接近于1,半短轴就越小。

笛卡尔坐标

笛卡尔坐标系内,二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线,并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

此处参数不得皆等于

矩阵表示

上述方程可以使用矩阵表示为

亦可以写作

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)

下文中记,记

类别

借由,我们可以判定圆锥曲线是否退化。

  • ,则圆锥曲线退化。
  • ,则圆锥曲线未退化。

若圆锥曲线未发生退化,则

  • , 方程表示一个椭圆
    • 对于椭圆,当时,为一个实椭圆;当为一个虚椭圆。(例如,没有任何实值解,是一个虚椭圆)
    • 特别的,若,作为椭圆的特殊情况,表示一个
  • 表示一条抛物线
  • 表示一条双曲线
    • 表示一条直角双曲线。

若圆锥曲线发生退化,则

  • ,作为椭圆的退化,为一个点。
  • ,作为抛物线的退化,为两条平行直线。
    • 为两条不重合的平行直线。
    • 为两条重合的平行直线。(特别的,此时为1)
    • 直线不存在与实平面中。
  • ,作为双曲线的退化,为两条相交直线。(同时,也是双曲线的渐近线)

在此处的表达中,为多项式系数,而非半长轴和半短轴

不变量

矩阵的行列式,以及)在任意的旋转和坐标轴的交换中保持不变。 :60–62页 常数项以及仅在旋转中保持不变。:60–62页

离心率

的离心率可被写作关于系数的函数。 若 抛物线,其离心率为1。其它情况下,假设表达一个未退化的椭圆或双曲线,那么

此处若为负则;若为正则

此外,离心率也是下述方程的一个正根:89页

此处 。对于椭圆或抛物线,该方程只有一个正根,即其离心率;对于双曲线,其有两个正根,其中的一个为其离心率。

变换为标准方程

对于椭圆或双曲线,可用变换后的变量表示为如下所示的标准形式

或等价的

此处,特征值,也即下述方程的两根:

同时,

透过坐标变换,各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式:

方程 椭圆 抛物线 双曲线
标准方程
参数方程

极坐标

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴,和半短轴,通过公式

极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程

或者,

如上,对于得到一个圆,对于得到椭圆,对于得到抛物线,对于得到双曲线。

齐次坐标

齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:

或表示为矩阵

矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。

叫做圆锥曲线的行列式。如果则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。

例如,圆锥曲线退化为两相交直线:

类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条):

被称为圆锥曲线的判别式。如果则圆锥曲线是抛物线,如果则是双曲线,如果则是椭圆。如果,圆锥曲线是;如果,它是直角双曲线。可以证明在复射影平面中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是,则圆锥曲线是。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

外部链接


本页面最后更新于2021-09-19 18:30,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器