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圆环坐标系

图 1 )圆环坐标系的几个坐标曲面。红色圆球面的 。蓝色环面的 。黄色半平面的 。z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑色的圆球表示),直角坐标大约为
图 2 )双极坐标系绘图。红色圆圈变成上图的红色圆球面( -坐标曲面),而蓝色圆圈则变成蓝色环面( -坐标曲面)。

圆环坐标系(英语:Toroidal coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于 xz-平面;两个焦点 直角坐标分别为 。将双极坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到圆环坐标系。双极坐标系的两个焦点,变为一个半径为 的圆圈,包含于圆环坐标系的 xy-平面。称这圆圈为焦圆,又称为参考圆

数学定义

在三维空间里,一个点 P 的圆环坐标 最常见的定义是

其中,直角坐标 坐标是 弧度 坐标是点 P 离两个焦点的距离 的比例的自然对数:

圆环坐标的值域为

坐标曲面

每一个 -坐标曲面都是包含了焦圆,而不同心的圆球面。圆球半径为

正值 的圆球面的圆心都在正 z-轴;而负值 的圆球面的圆心则在负 z-轴。当绝对值 增加时,圆球半径会减小,圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时, 达到最大值

每一个 -坐标曲面都是不相交的环面。每一个环面都包围着焦圆。环面半径为

曲线与 z-轴同轴。当 值增加时,圆球面的半径会减少,圆球心会靠近焦点。

逆变换

图 3 )点 P 的坐标 的几何诠释。在一个方位角 为常数的平面里,圆环坐标系变成双极坐标系。 的夹角 的弧度是 的比例的自然对数 的等值曲线都是圆圈,分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交(以洋红色表示)。

的比例的自然对数

圆环坐标 可以用直角坐标 来表达。方位角 的公式为

点 P 与两个焦点之间的距离是

如图 3 , 是两条从点 P 到两个焦点的线段 的夹角。这夹角的弧度是 。用余弦定理来计算:

标度因子

圆环坐标 的标度因子相等:

方位角的标度因子为

无穷小体积元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

圆环坐标有一个经典的应用,这是在解析像拉普拉斯方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里,圆环坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是,有一个圆环导体,请问其周围的电位电场为什么?应用圆环坐标,我们可以精致地分析这例题。

由于托卡马克的圆环形状,圆环坐标时常用在托卡马克核聚变理论研究。

参阅

参考目录

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 666.
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192.
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.

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