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抽象代数中,(德语:Körper,英语:Field)是一种集合,在这个集合中可以对集合的非零元素进行加法、法、法和法,其运算的定义与行为就如同有理数还有实数一样。的概念是数域以及四则运算的推广。因此域是一个广泛运用在代数、数论还有其他数学领域中的代数结构。

域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的非零元素可以进行除法运算,这等于说每个非零的元素都要有乘法逆元。域中的运算关于乘法是可交换的。若乘法运算没有要求可交换则称为除环division ring)或skew field

最有名的域结构的例子就是有理数域、实数域还有复数域。还有其他形式的域,例如有理函数域、代数函数域、代数数域、p进数域等,都很常在数学的领域中被使用或是研究,特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限域。

在两个域中的关系被表示成域扩张的观念。Galois理论,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力于理解域扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果,解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外,还解决了五次方程不能有公式解的问题。

定义

非正式的讲,域是种集合,集合中的元素可以做两种运算,"加法": 和"乘法": , 且要求集合中任意元素 有加法逆元 ,对所有非零元素 有乘法逆元 ,这种性质让我们可以用以下方法来定义加法和乘法的"反运算",减法: 和除法

定义1

域是交换性除环

定义2

域是一种交换环(F, +, *),当中加法单位元(0)不等于乘法单位元(1),且所有非零元素有乘法逆元。更简单讲就是:域是可交换除环

定义3

域是个集合 且带有加法和乘法两种运算,这里“运算”可以想成是种映射,对,这映射将此两元素对应到某元素,且这些运算满足如下性质:

在加法和乘法两种运算上封闭
F(另一种说法:加法和乘法是F上的二元运算)。
加法和乘法符合结合律
加法和乘法符合交换律
符合乘法对加法的分配律
存在加法单位
在F中有元素0,使得
存在乘法单位
在F中有不同于0的元素1,使得
存在加法逆元
使得
非零元素存在乘法逆元
, 使得

其中“元素0不同于元素1”的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。

由以上性质可以得出一些最基本的推论:

−(a * b) =(−a)* b = a *(−b)
a * 0 = 0
如果a * b = 0,则要么a = 0,要么b = 0

例子

  • 许多常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合对于加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合也是一个域,它是子域,并且不包含更小的子域了。
  • 代数数域:代数数域是有理数域有限扩域,也就是说代数数域是上的有限维向量空间。代数数域都同构于的子域,并且这个同构保持不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
  • 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作是有理数域的代数闭包(见下)。是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
  • 全体实数的集合对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
  • 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是的一个子域
  • 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
  • EF是两个域,EF的子域,则FE扩域。设xF中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含ExF的子域,记作E (x)E (x)称作EF中关于 x单扩张。比如说,复数域就是实数域中关于虚数单位i的单扩张
  • 每一个有乘法幺元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
  • F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)F的一个扩域。F (X)F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
  • F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域)。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
  • V是域F上的一个代数簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V函数域
  • S是一个黎曼曲面,则全体S → C 亚纯函数构成一个域。
  • 由于序数不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于的所有自然数构成的子集)都是域。

基本性质

  • F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个关于乘法的阿贝尔群F×的每个有限子群都是循环群
  • 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时中最小的子域分别是或有限域,称之为素域
  • 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
  • 选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含FGF代数扩张,并且G代数封闭G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说GF的一个代数闭包。

有限域

有限域是一个域有着有限多个元素,其元素个数也跟域的阶数相同,按照域的定义,可以知道为最小的有限域,因为根据定义,一个域至少包含两个元素

通常来说,最简单的素数阶域,就是,在这个域上的加法与乘法等同于在整数上的运算,然后除以n,取它的余数。这个运算精确的建构了一个域,如果说这个n为素数,通常我们将这个域记作

如果我们将向量空间,则我们将V称作有限域向量空间,其中,可知这个向量空间中,有个元素。

如果我们将有限域放入矩阵,也就是,则此矩阵的元素有

历史

历史上,三个代数中的学科导引到了域的概念:第一个是解多项式方程的问题,第二个是代数数论,第三个则是代数几何的问题。域的概念始于1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x1, x2, x3的排列,在以下的表达

(x1 + ωx2 + ω2x3)3

(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上,拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗弗朗索瓦·韦达 的经典解法,其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察,拉格朗日因此连结的关于域的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。

建构域

伽罗瓦理论

请参见伽罗瓦理论

域的不变量

应用

参见

参考文献

  1. ^ 张幼贤等. 學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版). 台北市: 国家教育研究院. 2014: p149 [2019-02-09]. ISBN 9789860440454. (原始内容存档于2020-12-06) (中文(台湾)).

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