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外尔特征标公式

外尔特征标公式Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔

定义:群G的表示r特征标为一函数 ,其中Tr 为线性算子之。 (由彼得-外尔定理 可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的;故迹之定义为线性代数中之定义。)

特征标 χ 记住了表示 r 本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 χ 。 本文考虑复表示,不失一般亦设其为酉表示,因而“不可约”亦等价于“不可分解”(即非二子表示之直和)。

公式

紧李群G不可约表示之特征标符合下式:

其中

  • ρ 为群G外尔向量,即各正根之和之半;
  • W外尔群
  • λ 为不可约表示之 最高权;
  • α 遍历G之每一正根。

外尔分母公式

在 1 维表示的特例中,特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成 外尔分母公式

G为特殊幺正群,则简化成范德蒙行列式的等式:

外尔维度公式

若只考虑单位元1之迹,则外尔特征标公式 特殊化成 外尔维数公式

,

其中

  • VΛ为有限维表示,其最高权为Λ;
  • ρ为外尔向量,
  • α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零,故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

Freudenthal 公式

Hans Freudenthal发现了权重数英语weight multiplicities符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式,而在某些情况下更简便。式曰:

其中

  • Λ 为一最高权,
  • λ 为另一权,
  • dim Vλ 为权λ 之重数,
  • ρ 为外尔向量,
  • 外和中之 α 历遍所有正根。

外尔-Kac 特征标公式

外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示 ——外尔-Kac 特特征标公式。同样地,分母恒等式亦可推广至卡茨-穆迪代数,其在仿射李代数之特例成为Macdonald 恒等式。其在 A1 仿射李代数之例成为经典的 雅可比三重乘积恒等式:

此特征公式可推广至广义卡茨-穆迪代数之可积最高权表示:

其中 S 为一修正项:

其中 I历遍虚简单根集内 所有与最高权 正交、且互相正交之有限子集;|I| 集 I 之基数,而 ΣI为集 I 内元素之和。

而Monster 李代数之 分母公式 则为椭圆模函数英语elliptic modular functionj之积公式:

Peterson 发现了(广义)可对称化英语symmetrisable卡茨-穆迪代数之根重数 mult(β) 递归公式。此公式等价于外尔-卡茨分母公式,但更便于计算:

,

其中γ 与 δ 遍历所有正根,而

参考


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