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A是B的子集

子集,为某个集合中一部分的集合,故亦称部分集合

集合,且的所有元素都是的元素,则有:

  • 子集(或称包含于);
  • 父集/超集(或称包含);
  • .

所有集合都是其本身的子集。 不等于的子集称为真子集。 若的真子集,则写作。 "是……的子集"的关系称为包含

定义

假设有两个集合,如果中的每个元素都是的元素,则:

  • 子集,记作
也可以说
  • 超集,记作

如果的子集,但等于(即中至少存在一个元素不在集合中),则:

  • 真子集,记作
也可以说
  • 真超集,记作

符号

符号表示任何子集关系,符号表示真子集关系。也是一个很常见的符号,但其含义容易混淆。

有人用表示任何子集和超集关系,即所分别代表的含义。所以在这些作者的文章中,对于任意集合 始终成立。

也有人用表示真子集和真超集的概念,即所分别代表的含义。:p.6这样就类似于不等符号的关系。例如如果 ,那么可能等于也可能不等于,而如果 ,那么就一定不等于。换用表示真子集,如果 ,那么可能等于也可能不等于,而如果 ,那么就一定不等于

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配:使用表示子集关系,表示真子集关系;或者使用表示子集关系,使用表示真子集关系。

举例

  • 集合是集合的真子集。
  • 自然数集合是有理数集合的真子集。
  • 集合是大于2000的素数是集合是大于1000的奇数的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,写作 ,是任意集合的子集。空集总是其他集合的真子集,除了其自身。

性质

命题1空集是任意集合的子集。

这个命题说明:包含是一种偏序关系

命题2:若是集合,则:

自反性
反对称性
  • 当且仅当
传递性

这个命题说明:对任意集合幂集按包含排序是一个有界格,与上述命题相结合,则它是一个布尔代数

命题3:若是集合的子集,则:

存在一个最小元和一个最大元
  • 由命题1给出)
存在并运算
存在交运算

命题4:对任意两个集合,下列表述等价:

这个命题说明:表述"",和其他使用并集交集补集的表述是等价的,即包含关系在公理体系中是多余的。

参见

  • 幂集:某集合的全部子集组成的集合。

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