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对数表

20世纪的常用对数表的一个实例。

对数表是指,通过计算得出从1开始各个整数对数(现在一般用常用对数),所编排成的表格。

对数表的应用

根据对数运算的基本公式,可知(其中b>0),因此在知道两大数的对数情况下,可很快计算出两数的积和商。

对数表的使用方法

查表(取得对数值)

一般常见的常用对数表(“常用”一词指以10为底)只提供log 1.000至log 9.999的值,故不在此范围内的数字须先行处理,以下用取得 1055的对数值(求得log 1055)作为说明。

  1. 将数字转换为科学记号表示法,如1055 = 1.055 × 103,其中只有1.055是对数表能直接处理的部分,而103的部分可直接得到log 103 = 3。
  2. 将1.055分为三个部分依序查表:1.0(找寻10,常见的对数表在表格的表示上故意省略了小数点)、0.05(小数点下第二位)、0.005(小数点下第三位)。
    1. 在对数表中的行找到10(即1.0)、字段为5(即0.05)的值,得到0212,由于对数表的表格中所有对数值都需要乘以10−4才是真正值,故此0212代表0.0212。需注意此步骤只得到log 1.05 = 0.0212,小数点下第四位还没有处理(需有表尾差或计算线性内插)。
    2. 如对数表附有表尾差(或称比例部分),则可进一步处理0.005的部分,在表尾差中找寻字段5,得到21(表示前一步骤所得的0.0212需要再修正增加0.0021),得到log 1.055 = 0.0212 + 0.0021 = 0.0233。注意表尾差的值需再乘以10−4才是真正值。
    3. 如对数表没有表尾差,则可利用线性内插法求得。因1.05 < 1.055 < 1.06,尚需另外查表log 1.06 = 0.0253,解方程式:可得
  3. 总和上述结果,得到

反查表(反求指数函数值)

对数表提供查取对数值,故反向操作由对数值取得真数,则可得其反函数值,即求得指数函数值。但由于常见的对数表只提供log 1.000至log 9.999的值,故查表得到的对数值范围将局限在0.0000至1.0000之间,只有小数的部分可以处理,至于整数部分则直接转换为10的次方数,以下用6.9628为例作说明,此反查的过程相当于计算106.9628

  1. 将6.9628拆解为整数6与小数0.9628两个部分,以下针对0.9628查表,整数6代表106
  2. 找寻表格中数字为9628,因对数函数为单调递增函数,故只要由左而右、从上至下便可依序寻得,对照行的标示值91(得9.1)、与字段标示值8(0.08),得到100.9628 = 9.1 + 0.08 = 9.18。
  3. 总和上述结果,得到106.9628 = 106 × 9.18 = 9180000。

应用范例:乘法

  1. 首先,假设我们要计算1055 × 8712。
  2. 将两数分别取其对数,经查表可得log 1055 = 3.0233,log 8712 = 3.9395。
  3. 再将两对数值相加,得6.9628。
  4. 由对数表反查得到106.9628 = 9180000。
  5. 比较:直接计算1055 × 8712 = 9191160,由对数表查表所得误差约−0.1%,由于一般常见的对数表只提供4位有效数字,故利用对数表作乘法运算时虽然只能确保结果的数量级(本例中为106)以及前几位数字的准确,但是可以快速提供大数的乘法。

早期建立法

最初,建立对数表必须先有小数指数表。

比如要建立真数精确到千分位而对数精确到万分位的对数表,首先得估计的值。

首先查出,再算出两者与真数的差:前者为0.000079,后者为0.000151,显然对数值取为0.0004更恰当。

以此类推,分别算出……最后就成了对数表了。

参见


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