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差分

差分,又名差分函数差分运算,是数学中的一个概念。它将原函数 映射。差分运算,相应于微分运算,是微积分中重要的一个概念。

定义

差分分为前向差分逆向差分

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数,如果在等距节点:

则称,函数在每个小区间上的增量一阶差分。

在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当多项式时,前向差分为Delta算子(称为差分算子),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数,如果:

则称的一阶逆向差分。

差分的阶

一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:

阶差分。

如果

根据数学归纳法,有

其中,二项式系数

特别的,有

前向差分有时候也称作数列二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:

  • 线性:如果 为常数,则有

牛顿级数

自然哲学的数学原理》的第三编“宇宙体系”的引理五的图例。这里在横坐标上有6个点H,I,K,L,M,N,对应着6个值A,B,C,D,E,F,生成一个多项式函数对这6个点上有对应的6个值,计算任意点S对应的值R。牛顿给出了间距为单位值和任意值的两种情况。

牛顿插值公式也叫做牛顿级数,由“牛顿前向差分方程”的项组成,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。

单位步长情况

x值间隔为单位步长1时,有:

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。这里的表达式

二项式系数,其中的(x)k是“下降阶乘幂”,空积(x)0被定义为1。这里的Δk[f](x)是“前向差分”的特定情况,即间距h=1。

实例

为了展示牛顿的这个公式是如何使用的,举例数列 1, 4, 9,16...的前几项,可以找到一个多项式重新生成这些值,首先计算一个差分表,接着将对应于x0(标示了下划线)的这些差分代换入公式,

一般情况

对于x值间隔为非一致步长的情况,牛顿计算均差,在间隔一致但非单位量时,即上述前向差分的一般情况,插值公式为:

在最终公式中hk被消去掉了,对于非一致步长的情况则不会出现阶乘。

参考

  1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
  2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见

参考文献


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