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布尔不等式

布尔不等式Boole's inequality),由乔治·布尔提出,指对于全部事件概率不大于单个事件的概率总和。

对于事件A1、A2、A3、......:

测度论上,布尔不等式满足σ次可加性

证明

布尔不等式可以用数学归纳法证明。

对于1个事件:

对于n个事件:

.

使用马尔可夫不等式的证明

是任意概率事件是各种事件的发生次数的随机变量。显然有:

因为是非负随机变量,应用马尔科夫不等式,取,有:

注意到

Bonferroni不等式

布尔不等式可以推导出事件并集上界下界,其关系称为Bonferroni不等式

定义:

对于奇数k:

对于偶数k:

参见

参考资料


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