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平行六面体

平行六面体
平行六面体
平行六面体
类别柱体
对偶多面体平行四面轴正轴体
数学表示法
威佐夫符号英语Wythoff symbol2 4 | 2
性质
6
12
顶点8
欧拉特征数F=6, E=12, V=8 (χ=2)
组成与布局
面的种类平行四边形×6
对称性
对称群Ci, [2+,2+], (×), order 2
特性
环带多面体

几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体,是一种平行多面体。它与平行四边形的关系,正如正方体正方形之间的关系;在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为:

  • 六个面都是平行四边形的多面体
  • 有三对对面平行的六面体;
  • 底面为平行四边形的棱柱

长方体(六个面都是长方形)、正方体(六个面都是正方形),以及菱面体(六个面都是菱形)都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体线性变换而成。

用相同的平行六面体,可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式

平行六面体的体积底面 与高 的乘积,即

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量计算

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 ,以及 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 等于标量三重积

证明

来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积 为:

其中 之间的角,而高为:

其中 之间的角。

从图中我们可以看到, 的大小限定为 。而向量 之间的角 则有可能大于90°()。也就是说,由于 平行, 的值要么等于 ,要么等于 。因此:

我们得出结论:

于是,根据标量积的定义,它等于 的绝对值,即:

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:


以棱长及夹角计算

是三条两两相邻的棱长,且 是三条棱边的夹角,则平行六面体的体积为:

证明

从上面可知,平行六面体的体积可表示为:

其中:

因此

依行列式及标量积定义展开公式右手边,即可得上述公式。


以座标计算

选取任意一顶点 以其相邻三个顶点 ,则体积可表示为:

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:

  • 四个面是长方形;
  • 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面体

完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年,发现了数十个完美平行六面体的例子,包括棱长271、106及103,劣面对角线长101、 266及255,优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体

特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。

位于空间中的n维超平行体的n维体积(),可以用格拉姆行列式的方法来计算。

外部链接

  1. ^ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220可免费查阅. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7..

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