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弗罗比尼乌斯内积

数学中,弗罗比尼乌斯内积是一种基于两个矩阵的二元运算,结果是一个数值。它常常被记为。这个运算是一个将矩阵视为向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数,但不局限于方阵

定义

给定两个n×m矩阵 AB

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

其中上划线表示复数和复矩阵的共轭操作。若将定义详细写出,则有

此计算与点积十分相似,所以是一个内积的范例。

性质

弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定复矩阵A, B, C, D, 以及复数ab,我们有

并且,交换复矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵:

对于相同的矩阵,有

样例

实矩阵

给定实矩阵:

则:

复矩阵

给定复矩阵

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

因此,

但注意

AB与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

弗罗比尼乌斯范数

从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

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