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悬链线

不同的悬链线
铁链形式的悬链线。
蜘蛛丝形成多个(近似的)悬链线。

悬链线(Catenary)是一种常用曲线,物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状,因此而得名。它的公式为:

或者简单地表示为

其中cosh是双曲余弦函数, 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数轴为其准线。具体来说,,其中是重力加速度,是线密度(假设绳子密度均匀),而是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了

其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。

方程的推导

表达式的证明

如右图,设最低点处受水平向左的拉力,右悬挂点处表示为点,在弧线区段任意取一段设为点,则受一个斜向上的拉力,设和水平方向夹角为,绳子的质量为,受力分析有:

, 其中是右段绳子的长度,是绳子线重量密度,为切线方向,记, 代入得微分方程;

利用弧长公式;

所以;

再把代入微分方程得

对于微分处理

其中;

对(2)分离常量求积分

,即

其中反双曲函数;

时,

带入得

整理得

工程中的应用

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用,称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如下:

还有以下几个公式,可能也有用:

其中是曲线中某点到0点的链索长度,是该点的正切角,是0点处的水平张力,是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

外部链接


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