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扭棱十二面体

扭棱十二面体
扭棱十二面体
(点选检视旋转模型)
类别阿基米德立体半正多面体
对偶多面体五角化六十面体
识别
名称扭棱十二面体
参考索引U29, C32, W18
数学表示法
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
施莱夫利符号sr{5,3} 或

|- !style="background-color:#e7dcc3"|

|| ht0,1,2{5,3}
威佐夫符号英语Wythoff symbol| 2 3 5
康威表示法sD
性质
92
150
顶点60
欧拉特征数F=92, E=150, V=60 (χ=2)
二面角3-3: 164°10′31″ (164.18°)
3-5: 152°55′53″ (152.93°)
组成与布局
顶点图3.3.3.3.5
面的种类正三角形
正五边形
面的布局英语Face configuration(20+60){3}+12{5}
对称性
对称群I, 1/2H3, [5,3]+, (532), order 60
旋转对称群英语Rotation_groupsI, [5,3]+, (532), order 60
特性
半正、手性英语Chirality (mathematics)
图像
立体图
扭棱十二面体
及其手性镜像
Snub dodecahedron vertfig.png
3.3.3.3.5
顶点图
Polyhedron snub 12-20 left dual max.png
五角化六十面体
(对偶多面体)
Polyhedron snub 12-20 left net.svg
(展开图)

几何学中,扭棱十二面体是一种半正多面体,由正三角形正五边形组成,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体,也是面数最多的阿基米德立体,其对偶多面体五角化六十面体

命名

这个形状最早是由克普勒以拉丁文命名的,当时克普勒给出的名称为dodecahedron simum,该名称记载于1619的《世界的和谐》。考克斯特利用扭棱十二面体不仅可以由正十二面体扭棱而成,同时也可以用正二十面体扭棱而成,因此称其为扭棱十二・二十面体snub icosidodecahedron)或扭棱截十二面体。其两种手性镜像中,左旋称为laevo、右旋称为dextro。

性质

扭棱十二面体是一种阿基米德立体,为正十二面体(或正二十面体)透过扭棱变换后的结果,在施莱夫利符号中可以用或sr{5,3}表示。其具有两个不同的手性几何结构,两者互为镜像,互相组合后可以形成均匀复合体称为二复合扭棱十二面体英语Compound of two snub dodecahedra,其凸包为大斜方截半二十面体

构成元素

扭棱十二面体的展开动画。

扭棱十二面体由92个面、60个顶点和150条边组成,在其92个面中有80个正三角形和12个正五边形;60个顶点中,每个顶点都是4个正三角形和1个正五边形的公共顶点,在顶点图中可以用5.3.3.3.3来表示;150条棱中有60条棱是三角形和五边形的公共棱、90条棱是三角形和三角形的公共棱。

体积与表面积

若扭棱十二面体边长为1,则其表面积为:

体积为:

二面角

扭棱十二面体有2种二面角,一种是正三角形与正三角形交角,另一种是正三角形与正五边形交角。其中正三角形与正三角形交角角度约为164.175度:

而正三角形与正五边形交角的角度约为152.9299度:

其中黄金分割率,约为

定义为

顶点座标

若一扭棱十二面体边长为一,且质心位于原点,则其顶点座标为下列式子的偶置换

  • ,且偶数加上正号
  • ,且奇数加上正号,左旋与右旋则为y座标相反。

正交投影

扭棱十二面体有3个特殊的正交投影,分别为于面上投影(两种)和于棱上投影(一种),其中“在正三角形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A2 和 H2的考克斯特平面。

正交投影
投影于 正三角形面 正五边形面
立体图 Polyhedron snub 12-20 left from yellow max.png Polyhedron snub 12-20 left from red max.png Polyhedron snub 12-20 left from blue max.png
骨架图 Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Snub dodecahedron e1.png
投影对称性 [3] [5]+ [2]
对偶投影 Dual snub dodecahedron A2.png Dual snub dodecahedron H2.png Dual snub dodecahedron e1.png

几何关联

正十二面体、小斜方截半二十面体以及扭棱十二面体

扭棱十二面体可以透过将正十二面体的正五边形面往外拉,直到完全不接触后,原本的顶点位置填入三角形,剩下的部分用三角形补满来构造。而将正十二面体往外拉时,在某个适当的位置时,原本正五边形与正五边形的公共棱的位置则可以摆上正方形,此时则会构成小斜方截半二十面体。

均匀交错变换的大斜方截半二十面体

而要产生扭棱的形式则需要在将正五边形面往外拉时稍微有一点旋转,并只用三角形填满空隙,而五边形旋转的方向不同可以产生手性镜像。

扭棱十二面体也可以经由大斜方截半二十面体透过交错变换来构造,但构造出的扭棱十二面体并非所有面都是正多边形,其结果称为截角大斜方截半二十面体,其与扭棱十二面体有着相同的拓朴结构。

相关多面体与镶嵌

扭棱十二面体正十二面体(或正二十面体)经过扭棱变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 5.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

扭棱十二面体的顶点为4个正三角形与1个正五边形的公共顶点,顶点图计为3.3.3.3.5,在考克斯特符号中可以用CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png来表示,其中,正五边形可以替换为其他多边形,而构成一个无穷序列。其他顶点图也为4个正三角形与1个正n边形的公共顶点(顶点图:3.3.3.3.n)、考克斯特符号计为CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png的多面体如下表所示。特别地,这些几何形状都具有 (n32) 的旋转对称性,当n为6时,几何体退化成平面的无限面体,为一种半正平面镶嵌,n达到7或以上时,几何结构则成为双曲镶嵌图;而n为2时,其原像退化为三角形二面体,而n为1或更低时,则该形状不存在。

扭棱镶嵌对称性 n32 的变种: 3.3.3.3.n
对称性
n32英语Orbifold notation
球面镶嵌英语List of spherical symmetry groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
考克斯特记号 CDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 8.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
扭棱图 扭棱三角形二面体 扭棱正四面体 扭棱立方体 扭棱十二面体 扭棱六边形镶嵌 扭棱三阶七边形镶嵌 扭棱三阶八边形镶嵌 扭棱三阶无限边形镶嵌
顶点图 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7英语Snub triheptagonal tiling 3.3.3.3.8英语Snub trioctagonal tiling 3.3.3.3.∞英语Snub triapeirogonal tiling
扭棱对偶 Uniform tiling 432-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Spherical pentagonal icositetrahedron.png Spherical pentagonal hexecontahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg 7-3 floret pentagonal tiling.svg Order-3-infinite floret pentagonal tiling.png
顶点布局英语Vertex configuration V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7英语Order-7-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.8英语Order-8-3 floret pentagonal tiling V3.3.3.3.∞

扭棱十二面体图

扭棱十二面体图
Snub dodecahedral graph.png
5阶对称性
顶点60
150
自同构群60
属性哈密顿正则

在图论的数学领域中,与扭棱十二面体相关的图为扭棱十二面体图,是扭棱十二面体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一种阿基米德图英语Archimedean graph。由于其可以找到哈密顿回路因此也是一种哈密顿图

扭棱十二面体图
Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Snub dodecahedron e1.png

参见

外部链接


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