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拓扑群

群论
Rubik's cube.svg

数学中,拓扑群 G 和与之一起的 G 上的拓扑,使得这个群的二元运算和这个群的取逆函数是连续的。拓扑群允许依据连续群作用来研究连续对称的概念。

形式定义

拓扑群 G拓扑空间使得群运算

连续函数。这里的 G × G 被看作使用乘积拓扑得到拓扑空间。

尽管我们这里没有做其他要求,很多作者要求在 G 上的拓扑是豪斯多夫空间。下面会讨论其理由和一些等价条件。最后,这不是个严重的限制 — 很多拓扑群都可以用规范方式变成豪斯多夫空间。

使用范畴论的语言,拓扑群可以简明的定义为在拓扑空间范畴内的群对象,如同普通的群是集合范畴的群对象一样。

同态

在两个拓扑群 GH 之间的同态就是连续群同态 GH。拓扑群的同构则要求同时是群同构及对应拓扑空间的同胚。这比单纯要求连续群同构要更强,因其逆函数必须也是连续。有作为普通群是同构的但作为拓扑群却不同构的例子。实际上,任何非离散的拓扑群在用离散拓扑来考虑的时候也是(另一个)拓扑群。底层的群是一样的(同构),但两个拓扑群并非同构。

拓扑群和它们的同态一起形成一个范畴

例子

每个群可以平凡地变成一个拓扑群,这是通过给它一个离散拓扑达成地;这样的群称为离散群。在这个意义下,拓扑群的理论包含了普通群的理论。

实数 R,以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的,欧几里得空间Rn连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的,所有拓扑向量空间(譬如巴拿赫空间希尔伯特空间)的加法群是拓扑群。

上面的例子都是阿贝尔群的例子。非交换群的例子有各种李群(是拓扑群也是流形)。例如,一般线性群GL(n,R)由所有可逆n×n实系数矩阵组成,可以视为拓扑群,其拓扑定义为将GL(n,R)作为欧几里得空间Rn×n的子空间得到的子空间拓扑。所有李群是局部紧的。

不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子,可以考虑R3的旋转群由绕不同轴作2π的无理数倍的两个旋转所生成的子群。

在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中,可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。

性质

拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如,在任何拓扑群中单位分支(也就是包含单位的连通分支)是一个正规子群

拓扑群G上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样,若a是G的任意元素,则a的左乘和右乘产生GG的一个同胚。

每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间;“左一致性”将所有左乘变成一个一致连续映射,而“右一致性”将所有右乘变为一致连续映射。若G非交换,则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性、一致连续、和一致收敛成为可能。

作为一个一致空间,每个拓扑群是一个完全正则空间。因而,若一个拓扑群是T0(也就是柯尔莫果洛夫空间),则它也是T2 (也即豪斯多夫空间)。

两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态。拓扑群,和作为态射的连续群同态一起,构成一个范畴

每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群,只要取子空间拓扑便可。若H是G的一个子群,所有左或右陪集G/H是一个拓扑空间,只要取商拓扑便可(G/H上使得自然投影q : GG/H连续的最细拓扑)。可以证明商映射q : GG/H总是开映射

H是一个G的正规子群,则因子群G/H成为一个拓扑群,而从普通群理论来的同构基本定理在这个范围中也是成立的。但是,若H不是G的拓扑下的闭集,则G/H不是T0的,即使G是。因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的范畴,并且限制定义中的正规到正规且闭。

H是G的子群,则H的闭包也是一个子群。同样,若H是一个正规子群,则H的闭包也是正规的。

和数学其他领域的关系

对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群,因为它们承认一个自然的测度积分的概念,由哈尔测度给出。在很多方面,局部紧拓扑群是可数群的一个推广,而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广。群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。

参看

参考

  • Husain, Taqdir. Introduction to Topological Groups. Philadelphia: W.B. Saunders Company. 1966.
  • Pontryagin, Lev S. Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu 3rd ed. New York: Gordon and Breach Science Publishers. 1986. ISBN 978-2-88124-133-8.

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