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关系 (数学)本文重定向自 数学关系

数学上,关系是对如等于二元关系的广义化。

简介

参考一个如“X认为Y喜欢Z”之类的关系,其实际情形如下:

关系S : X认为Y喜欢Z
X Y Z
韵如 凯文 佳馨
正干 韵如 柏豪
正干 正干 韵如
佳馨 佳馨 佳馨


上表的每一行都代表着一个事实,并给出“X认为Y喜欢Z”此类形式的断言。例如,第一行即表示“韵如认为凯文喜欢佳馨”。上表表示一个在集合P上的关系S,其中:

P = {韵如,凯文,正干,佳馨}

包括表中所有的人物。表中的资料则等同于如下的有序对:

S = {(韵如,凯文,佳馨), (正干,韵如,凯文), (正干,正干,韵如), (佳馨,佳馨,佳馨)}

若较不严谨些,通常会将S(韵如,凯文,佳馨)用来指上表中第一行的同一种关系。关系S为“三元”关系,因为每一行都包含了“三个”项目。关系是一个以集合论中的概念定义出的数学物件(即关系为{X,Y,Z}的笛卡儿积的子集),包含了表中所有的讯息。因此,数学上来说,关系纯粹是个集合

形式定义

k元关系在数学上有两种常见的定义。

定义1在集合X1,…,Xk上的关系L是指集合的笛卡儿积子集,写成LX1 ×…× Xk。因此,在此定义下,k元关系就是个k元组的集合。

第二个定义用到数学上一个常见的习惯-说“某某为一n元组”即表示此一某某数学物件是由n组数学物件的描述来判定的。在于集合k上的关系L中,会有k+1件事要描述,即k个集合加上一个这些集合笛卡儿积的子集。在此习惯下,L可以说是一个k+1元组。

定义2在集合X1,…,Xk上的关系L是一个k+1元组L = (X1,…, Xk, G(L)),其中G(L)是笛卡儿积X1 ×…× Xk的子集,称之为L的“关系图”。

例子

可除性

两个正整数nm之间“可除性”的关系是指“n 整除m”。此一关系通常用一特殊的符号“ | ”来表示它,写成“n|m”来表示“n整除m”。

若要以集合来代表这二元关系,即是设正整数的集合P = {1,2,3,…},然后可除性就是一个在P上的二元关系D,其中D为一包含了所有n|m的有序对 (n,m)。

例如,2为4的因数及6为72的因数,则可写成2|4和6|72,或D(2,4)和D(6,72)。

共面

对三维空间内的线L,存在一个三条线为共面的三元关系。此一关系“无法”缩减成两条线共面的二元对称关系

换句话说,若 P(L,M,N)表示线 L,M,N共面,且Q(L,M)表示线 L,M共面,则Q(L,M),Q(M,N)和Q(N,L)不能合起来代表P(L,M,N)也是对的;但相反则是正确的(三条共面的线之中的一对必然也会是共面的)。其中有两个几何上的反例。

第一个是,如x轴、y轴和z轴之类共点(即交于同一点)的三条线。另一个则是在任一三角柱上平行的三边。

若要正确,则必须加上每对线都会相交且相交的点都不同。如此一来,每对线的共面才会意指三条线的共面。

关系的性质

数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括:自反性、反自反性、对称性反对称性传递性。确定一个关系是否具有这些性质,可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。

具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余

具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。

n元谓词

n元谓词就是含有n个变量布尔值函数

由于上述的n元关系定义了 (x1, ..., xn)属于R时唯一的n元谓词(反之亦然),关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的:

多重关系

许多事物有多个元素两两关系。例如:

1,无穷个素数都是两两互素。例如素数2,3,5,7,11,就是所有素数之间没有公共因数,我们知道有无穷的素数两两互素;

2,无穷个区域两两相连。例如,一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连,有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连,有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连,...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。


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