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数学基础

数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑公理化集合论证明论模型论,和递归论(可计算性理论)。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为“真”?

目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论形式逻辑的。实际上,几乎所有现在的数学定理都可以表述为集合论下的定理。在这个观点下,所谓数学命题的真实性,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法英语Formalism (philosophy of mathematics)不能解释一些问题:为什么我们应沿用现行的公理而不是别的,为什么我们应沿用现行的逻辑规则而不是别的,为什么“真”数学命题(例如,算术领域的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。

数学实在论英语Mathematical realism(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类“发现”。在这种观点下,自然定律和数学定律有类似的地位,因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理,而是数学对象的真实世界构成了数学基础。但,显然的问题在于,我们如何接触这个世界?

一些数学哲学的现代理论不承认这种数学基础的存在性。有些理论倾向于专注数学实践英语Mathematical practice,并试图把数学家的实际工作视为一种社会群体来作描述和分析。也有理论试图创造一个数学认知科学英语Numerical cognition,把数学在"现实世界"中的可靠性归结为人类的认知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础,

参考来源

外部链接

参见


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