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整数

各种各样的
基本

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自然对数的底
虚数单位
无穷大

群论
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整数,在电脑应用上也称为整型,是序列中所有的的统称,包括负整数(0)与正整数。和自然数一样,整数也是一个可数无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体,源于德语单词Zahlen(意为“”)的首字母。

代数数论中,这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数,用以和高斯整数等的概念加以区分。

正整数与负整数

整数是一个集合,通常可以分为正整数(0)和负整数正整数(符号:Z+)即大于0的整数,是正数与整数的交集。而负整数(符号:)即小于0的整数,是负数与整数的交集。和整数一样,两者都是可数无限集合。除正整数和负整数外,通常将0与正整数统称为非负整数(符号:Z+0),而将0与负整数统称为非正整数(符号:Z-0)。在数论自然数通常被视为与正整数等同,即1,2,3等,但在集合论计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。

代数性质

下表给出任何整数加法乘法的基本性质。

性质 加法 乘法
封闭性 是整数 是整数
结合律
交换律
存在单位元
存在逆元 整数集中,只有1-1对于乘法存在整数逆元,其余整数关于乘法的逆元,都不为整数。
分配律

全体整数关于加法乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与同构

有序性质

是一个全序集,没有上界和下界,其序列如下:

一个整数大于零则为正,小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:

  • ,则(加法)
  • ,则;若,则(乘法)

整数环是一个欧几里德域

电脑中的整数

的基数

基数(或势)是0,与相同。这可以从建立一双射函数来证明,亦即该函数要同时满足单射满射的条件,例如:

当该函数的定义域仅限于,则证明可建立一一对应的关系,即两集等势

参见


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