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数学符号

不只被使用于数学里,更包含于物理科学工程经济学等领域内。有些数学符号在生活中很常见,例如数字12二元运算+等,尽管它们的实际定义可能并不显浅;随着数学观念的发展,我们需要更多的符号以避免冗长的定义陈述,或是简洁地表示某些概念。一些可能出现在教科书上的符号有正弦函数极限微分;也有更为基本、然而抽象的符号,比如函数等式变数等等。

释义

数学符号是一书写系统,用于表示数学内的概念,是一种含义高度概括、形体高度浓缩的抽象的科学语言。

书写的工具有纸和笔,电脑萤幕和键盘,又或者是黑板和粉笔。数学符号的一个特点为对数学概念的系统性依附,举个例子,dy/dx此一概念在微积分中是由极限的定义给出,它的特性是由极限的定义推导出来。若简单地视为一般分数,那就大错特错。当我们谈及数学符号时,总是在某个理论框架的意义下讨论它。要注意的是,同一个符号可以在不同的理论中被使用,且有着不同的意义。(另见相关概念:主语逻辑论证、信服、数理逻辑模型论。)

表示式

表示式是能被赋予某些意义的符号串列。例如,若表示式中的符号代表数字和一些运算(比如加减乘除),则此式依一定的运算顺序来作运算过程。有需要的话,我们会在表示式中加入括号,以标明优先运算的部分。例如算式 中,是先把括号中的数字加起来,得出,再把乘以。一般来说,人们都由左至右写表示式,也从左至右的方向阐述式子,但电脑读入和运行表示式的方法则有别于此。计算机科学中,这些运算规则是由编译器执行的。

更多有关表示式的运算,请见计算机科学主题热情计算惰性计算及评估运算子。

精确语意

现代数学要求数学符号有精确语意,因为使用含糊不清的符号是无法给出正式的数学证明的。有了准确的符号,才能严格地推导出命题。命题亦即由一些符号以合乎规格的方式连结起来的表示式。这些数学命题通常是陈述某些数学对象的性质和关系(比如先前所述的数字、形状、图像和变化)。透过一公理系统可推导出命题,但仅看命题中的符号,是无法理解整个式子的意义的。除了推理,我们还可把符号设想为那些被标示的数学对象,如此便得出一个模型,在该模型中命题的意义有一个诠释。如此我们可以透过直觉来了解符号或数学对象的意义,而同时这种理解又建基于严格的推理。当我们想要探究一个数学对象的特性,我们可以用描述法,将其特性形式化地一一列举。

数学对象的特性一般都有经广泛使用、或既定俗成的符号来表示之。(参见:常用的数学符号表) 通常我们会加一些注解在符号上,例如:

  • “所有x”、“没有x”、“存在某个x”(又或者说,“对某些x”)、“一个集合”、“一个函数”
  • “一个把实数映射到复数的函数”

在不同的文本内容中,有时相同的符号或记号被用来指涉不同的概念。所以,要明白一篇关于数学的文字,首要之事是要弄清作者于文中使用的符号究竟定义为何。不过若然作者假定他的读者都熟悉那些符号的意思(而你却不在其中),那你可能会感到烦恼了。

数学符号的历史

数算

一般相信数学标记最少在50,000年前开始出现,以协助数算。除了数手指,早期用作数算的工具还有石块、树枝、骨头、黏土、木雕、绳结。 0的出现是数学中最重要的发展之一。

解析几何

初期几何的数学观念未借用数字的概念。事实上,由自然数到分数,再由分数建构出连续的实数,这个发展过程经历了一个世纪更久的时间。直至笛卡尔发展了解析几何,几何里才常常用到数字和符号。一些符号开始出现在几何证明的正式发表里,用以简略地表示数学概念。除此之外,几何定理和证明的结构也大大地影响了非几何的领域,比如是牛顿所著的《自然哲学的数学原理》。

计算机械化

随着布林代数进位制的出现,透过简单电路作计算这一方法成为可能。最初是以物理手段,例如用齿轮和杆,通过旋转平移表示状态的变动。再之后是以电力,通过电压和电流的转变来代表某一项量的转变。到了今天,电脑以规格化的电路来储存和改变某一项量,除了数字外还能表示图象、声音、动作以及指令。

现代记号

十八和十九世纪时有不少数学符号被创造出来,也伴随着数学符号的规范化,有不少符号沿用至今。其中不少都是瑞士数学家欧拉所创的,比如:以代表常数、以代表未知数e作为自然对数、Sigma(Σ)表示数值的总和表示虚数单位,还有以代表函数。他同时普及了以代表圆周率的使用。许多数学领域里的数学符号都是采用其发明者的写法:微分算子的标示源于莱布尼兹、无限基数源于康托尔约翰·沃利斯也发明了"∞"的写法)、全等符号(≡) 源于高斯,于此就不一一尽列。

电脑化计算

对有些人而言,电脑化计算是一种可令他们领会到在象征式记法不能领会到的数学计算方法。他们能受益于现代的先进电脑设备,提供更多准确的视觉听觉触觉形式的反馈。

表意符号

参见

注记

  • Florian Cajori, A History of Mathematical Notations (1929), 2 volumes. ISBN 0-486-67766-4

外部链接


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