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斯坦豪斯-莫泽表示法本文重定向自 斯坦豪斯-莫澤表示法

(重定向自摩瑟數)

斯坦豪斯-莫泽表示法,又称斯坦豪斯-莫泽记号斯坦豪斯-莫泽多边形记号多边形记号,为利用多边形来表示大数的一种表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯英语Hugo Steinhaus发明,后来李奥·莫泽英语Leo Moser扩展了该表示法。

斯坦豪斯的多边形记号

斯坦豪斯多边形记号的定义如下:

  • Triangle-n.svg = nn
  • Square-n.svg = “n放进n个三角形中”
  • Circle-n.svg = “n放进n个正方形中”

斯坦豪斯使用这个符号定义了一些数:

  • Circle-two.svg被称为Mega数
  • Circle-ten.svg被称为Megiston数

莫泽的多边形记号

莫泽多边形记号是斯坦豪斯多边形记号的扩张,这个记号不使用圆形,而使用一般的多边形。

  • Triangle-n.svgSquare-n.svg与斯坦豪斯的记号相同。
  • Pentagon-n.svg = “n放进n个正方形中”(= Circle-n.svg
  • 一般来说,“n放进m边形中”=“n放进nm - 1边形中”

而“2放进Circle-two.svg边形中”则被称为莫泽数

中括号表示法

纽约大学的苏珊·史蒂芬教授在自己的网站中使用以下替代符号:

  • n放进p边形中”使用来表示。(请注意:在本条目中,都是表示某个数字放进正边形中,并不是第级的超运算,为了避免搞混,第级的超运算在本条目中是使用个向上的箭号表示,请见高德纳箭号表示法
  • 可以重复使用。例如,“‘n放进q边形中’放进p边形中”可以表示为
  • n放进kp边形中”表示为。换句话说,可以定义为

多边形记号可以使用这种表示法来定义:

  • Triangle-n.svg
  • Square-n.svg
  • Pentagon-n.svg Circle-n.svg
  • 一般来说,

上面所使用的↑为高德纳箭号表示法中的记号。

其他例子:

  • Math n trip triangle.png

斯坦豪斯和莫泽所定义的大数可如下表示:

  • Circle-two.svg(Mega数)
  • Circle-ten.svg(Megiston数)
  • 莫泽数 =

一些例子的计算

简单的例子

  • 2[3] = 22 = 4
  • 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256

Mega数

Circle-two.svg = 2[5]

= 2[4]2
= 2[4][4]
= 256[4]
= 256[3]256

256[3]n所代表的值如下(n从1开始):

,

这个数字可以“近似”如下:

这个近似值跟实际上差了非常多倍:

通常人们会感觉这两个数很近,其实差很远。

类似地,

这种“近似”方法也可以推展到所求的Mega数:

Circle-two.svg

如果再采用更简化的“近似值”,可以推得:

Circle-two.svg

实际上,

Circle-two.svg

如果以10为底,则可表示成:

Circle-two.svg

因此Mega数的范围为:

Circle-two.svg

Megiston数

Circle-ten.svg = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]

通过类似于Mega数近似值的近似方法,可得:

(*)

将a换成10,可得:

下式为把开头的10换成a,11换成b,后面的换成n之后的计算(其中a↑b = ab):

当a, b皆足够大时:

所以

这是一个近似值。

此时重复上面的操作,直到n = 1为止:

因此,当

(**)

这是一个近似值。

使用(**)式,可得的近似值:

以下的近似值使用(*)和(**)式:

因此,

所以Megiston数大致等于:

Circle-ten.svg

然而,实际上近似值远小于真正的Megiston数:

Circle-ten.svg

莫泽数

莫泽数代表Circle-two.svg。由于Circle-two.svg是相当巨大的数字,Circle-two.svg边形几乎跟圆没有差别,因此采用莫泽多边形记号是不可能画出莫泽数的。

尽管Circle-two.svg是非常巨大的,跟Circle-ten.svg相比来说仍是微不足道的。

提姆·周在1998年证明了下式[1],可见莫泽数远远小于葛立恒数(因为下式中后者还比葛立恒数小很多):

利用高德纳箭号表示法来准确表示莫泽数几乎是不可能的,但是可以用近似值来表示。莫泽数近似于Circle-two.svg-2个箭号)。

参见

外部链接


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