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方差

方差(英语:Variance),应用数学里的专有名词。在概率论统计学中,一个随机变量方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二阶中心矩,恰巧也是它的二阶累积量。意即,将各个误差之平方(而非取绝对值,使之肯定为正数),相加之后再除以总数,透过这样的方式来算出各个数据分布、零散(相对中心点)的程度。继续延伸的话,方差的正平方根称为该随机变量的标准差(此为相对各个数据点间),方差除以期望值归一化的值叫分散指数,标准差除以期望值归一化的值叫变异系数

“Variance”的各地常用别名
中国大陆方差
台湾变异数
港澳方差
日本、韩国分散
越南分散(phương sai)

定义

设X为服从分布F的随机变量, 如果E[X]是随机变量X期望值(平均数μ=E[X]
随机变量X或者分布F的方差为:

这个定义涵盖了连续、离散、或两者都有的随机变量。方差亦可当作是随机变量与自己本身的共变异数

方差典型的标记有Var(X), , 或是,其表示式可展开成为:

上述的表示式可记为"平方的期望减掉期望的平方"。

离散随机变量

如果随机变量X是具有概率质量函数的离散随机分布x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn,则:

此处是其期望值, 即:

.

X为有n个相等概率值的平均分布:


n个相等概率值的方差亦可以点对点间的方变量表示为:

连续型随机变量

如果随机变量X是连续分布,并对应至概率密度函数f(x),则其方差为:

此处是一期望值,

且此处的积分为以X为范围的x定积分(definite integral)
如果一个连续分布不存在期望值,如柯西分布(Cauchy distribution),也就不会有方差(不予定义)。

特性

方差不会是负的,因为次方计算为正的或为零:

一个常数随机变量的方差为零,且当一个资料集的方差为零时,其内所有项目皆为相同数值:

方差不变于定位参数的变动。也就是说,如果一个常数被加至一个数列中的所有变量值,此数列的方差不会改变:

如果所有数值被放大一个常数倍,方差会放大此常数的平方倍:

两个随机变量合的方差为:

此数Cov(., .)代表协方差

对于个随机变量的总和:

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间: L2(Ω, dP),不过这里的内积和长度跟协方差,标准差还是不大一样。 所以,我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间,也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间, 并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积,而这个内积就是协方差。

一般化

如果X是一个向量其取值范围在实数空间Rn,并且其每个元素都是一个一维随机变量,我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广,其定义为E[(X − μ)(X − μ)T],其中μ = E(X),XTX的转置。这个方差是一个非负定方阵,通常称为协方差矩阵

如果X是一个复数随机变量的向量(向量中每个元素均为复数的随机变量),那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)*],其中X*X共轭转置向量或称为埃尔米特向量。根据这个定义,方差为实数。

历史

方差”(variance)这个名词率先由罗纳德·费希尔(英语:Ronald Fisher)在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。后来“半方差”(semi variance英语semivariance),“亚方差”(hypo variance),“超方差”(super variance),“圆方差”(circular variance英语circular variance)与“倒方差”(inverse variance)等类似概念也被逐渐延伸出去。

参见


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