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最速降线问题本文重定向自 最速降線

(重定向自Brachistochrone)
从点A到点B的最速降线是一条摆线。

最速降线问题,又称最短时间问题最速落径问题。问题如下:假想你正在侧视的场景有高低不同的两点,且高点不是在低点的正上方,若从高点放开一个静止的质点让它沿着任一路径(直线、曲线、或折线皆可)滑到低点,其间只有均匀的重力作用而没有摩擦力,则怎样的路径可让这段行程的时间最短。在部分欧洲语言中,这个问题称为Brachistochrone,即希腊语中的“最短”(brachistos)和“时间”(chronos)。本问题的解答是摆线(而非很多人会猜想的直线),可以用变分法证明。

历史

1638年,伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹,证明了此线是摆线,并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿雅各布·伯努利莱布尼兹洛必达都得出同一结论,即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外,其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。

证明

约翰·伯努利的证明

费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。

运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

,

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知,经不同的曲线下落,物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:传输介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

,

式中vm为常数(可认为为真空中光速c,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。

通过上述方程,我们可以得到两条结论:

  1. 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切
  1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。

为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则

.

整理折射定律式中的各项并平方得到

可以解得dxdy

.

代入v和vm的表达式得到

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程

雅各布·伯努利的证明

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足

.

dy不变求微分,得到

最后整理得到

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为

Path function 2.PNG

对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到

因此最短时间的情况为

最速降线的数学形式与最短时间

在垂直平面上,自原点至目的地的最速降线具有以下数学形式:

这里的座标轴方向向下,且为此摆线参数表达式的参数,原点处

物体自原点沿最速降线滑至处所需的时间可由以下积分式给出:

利用以及,并以作为参数,整理后得

自此摆线的参数式中易知的最大值为,此值必须等于摆线的绕转圆直径,因此

现假设终点与原点直线距离,且终点对原点的俯角。利用此摆线的参数式,可知

最速降线问题的终点俯角-最短下滑时间关系曲线。图中原点到终点的直线距离定为1.00米,下滑时间随俯角增大而缩短。

利用的关系式求出,并代回下滑时间中,得

综合上述,讨论在已知的情况下,下滑时间与俯角的关系为

外部链接

参考资料

  1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10].

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