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有单位的

数学里,一代数结构是有单位的unital 或 unitary),当它含有一乘法单位元素,即含有一元素 1,对所有此代数结构内的元素 x ,有 1x=x1=x 的性质。

上述说法和一代数结构为乘法上的幺半群的说法是等价的。和所有的幺半群一样,其乘法单位元也是唯一的。

大部分在抽象代数内被考虑的结合代数,如群代数多项式代数矩阵代数等都是有单位的,当环被假设必须如此时。大部分在数学分析内被考虑之函数的代数都没有单位,例如平方可积函数(于无界定义域内)的代数和于无限会降至零之函数的代数,尤其是在某些(非紧)集合上具有支集的函数。

给定两个单作代数AB,一代数同态

f : AB

有单位的当其映射 A 的单位元映为 B 的单位元。

数域 K 上的结合代数 A 没有单位,可如下加入一单位元:A×KK-向量空间且如下定义乘法 * ,

(x,r) * (y,s) = (xy + sx + ry, rs)

其中 xyA 的元素及 rsK 的元素。然后,* 将为有单位元 (0,1) 的结合运算。旧代数 A 包含于新代数内,且 A×K 成为是包含 A 的最一般的有单位代数,在泛性质的意思之下。

根据环理论术语,一般假定乘法单位元存在于任一内。依此假定,所有的环都会有单位,且所有的环同态也会是有单位,且(结合)代数有单位当且仅当其为环。作者若不把环当做都有乘法单位元,会把有乘法单位元的环称做有单位环(幺环),且把环单位元如单位元般作用在其上的称做有单位模(幺模)。

参见


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