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有限几何学本文重定向自 有限幾何學

(重定向自有限幾何)
2阶有限仿射平面,包含4个点和6条线。相同颜色的线是“平行”的。

数学中,有限几何是满足某些几何学公理,但仅含有限个的几何系统。欧氏几何并非有限,因为它必包含一条欧氏直线,其上的点一一对应于实数

有限几何系统可以依维度分类,为简单起见,以下仅介绍低维度的情形。

有限平面

有限平面几何可以分为仿射射影两类。在仿射空间中可以探讨线平行性,射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 (其成员称为)及一族 的子集 (其成员称为线),使之满足下述条件:

  1. 任两点包含于唯一的一条线。
  2. 平行公设:给定线 及点 ,存在唯一的线 使之包含
  3. 存在四个点,其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空,前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成,其中任两点决定唯一一条线,所以此平面有六条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言,阶仿射平面有 个点与 条线;每条线含 点,每点落于 条线。

定义. 射影平面是一个非空集 (其成员称为)及一族 的子集 (其成员称为线),使之满足下述条件:

  1. 任两点包含于唯一的一条线。
  2. 任两条相异的线交于唯一一点。
  3. 存在四个点,其中任三点不共线。
Fano 平面的图解

在上述公理中,我们可以交换点及线的角色,这蕴含了射影几何的对偶性:若射影几何的某命题成立,则将命题中的点与线互换后,新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面,又称二阶射影平面,由七条线及七个点构成。若除去任一直线(及其上之点),将得到二阶仿射平面。

一般而言, 阶射影平面的点、线个数均为 ,每条线含 个点,每个点落于 条线。

对任意正整数 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 素数幂。

有限几何的对称群

若一映射 保存共线关系,则称之为 对称(或自同构)。Fano 平面的对称群同构于 ,有 个元素。

外部链接


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