万维百科

根系

数学中,根系欧几里得空间中满足某些公理的向量配置。根系在李群李代数代数群理论中格外重要;而根系分类的主要工具──邓肯图,也见诸奇异性理论等与李群并无显著关系的学科。

定义

为有限维实向量空间,并赋予标准的内积 中的根系是有限个向量(称为)构成的集合 ,满足下述条件:

<α, β> 的整性条件使得 β 必然落在所示各条垂直线上。再配合 <β, α> 的整性条件,在每条线上,其间交角只有两种可能。
  1. 的元素张出
  2. 对任一 ,其属于 的标量倍数只有
  3. 对任意 ,集合 在对 的反射之下不变。在此的反射是指
  4. (整性)若 ,则 方向的投影乘以2是 的整数倍,即:

根据性质三,整性等价于:对任意 仅差 的整数倍。此外,注意到性质四定义的尖积

并非一个内积,它未必对称,而且只对第一个参数是线性的。

根系 定义为 的维度。

给定两个根系 ,可考虑其正交直和 ,则 自然地构成其中的根系。若一个根系无法表成如此的组合(当然,假设 ),则称之为不可约的。

对两个根系 ,若存在其间的线性同构,使得 映至 ,则称它们为同构的根系。

对于根系 ,对根的反射生成一个群,称为该根系的外尔群。可证明此群在 上忠实地作用,因此必为有限群。

秩一与秩二的例子

秩为1的例子

在同构的意义下,秩一的根系仅有一种,由两个非零向量 组成。此根系记作

秩为2的例子

秩二的根系有四种可能,对应于,其中的情况。注意根系并不由它生成的格所决定:均生成正方形格,而 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 图解如下:

根系 A1×A1 根系 A2
根系 A1×A1
Dyn-node n1.pngDyn-2.pngDyn-node n2.png
根系 A2
Dyn-node n1.pngDyn-3.pngDyn-node n2.png
根系 B2 根系 G2
根系 B2
Dyn-node n1.pngDyn-4a.pngDyn-node n2.png
根系 G2
Dyn-node n1.pngDyn-6a.pngDyn-node n2.png
秩二之根系

中的根系,而 中生成的子空间,则 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中两根的几何关系,例如:任意两根的交角仅可能是 度。

正根与单根

对于根系 ,可以取定满足下述条件的正根子集

  • 对每个根 中恰有一者属于
  • 对任意 ,若 ,则

正根的取法并不唯一。取定一组正根后, 的元素被称为负根

正根的选取等价于单根的选取。单根集是 中满足下述条件的子集

任意 中的元素皆可唯一地表成 中元素的整系数线性组合,而且其系数或者全大于等于零,或者全小于等于零。

选定一组单根后,可定义相应的正根为展开式中系数大于等于零的根。如此可得到单根与正根选取法的一一对应。

以邓肯图分类根系

不可约根系与某类被称为邓肯图的间有一一对应关系。邓肯图的分类是简单的组合学问题,由此可导出不可约根系的分类定理。其构造方式如下:

给定一个不可约根系,选取一组单根。相应的邓肯图以这些单根为顶点。两个单根 若不垂直,则有 个边相连:若只有一个边,则不取定向,否则则取自长度 长者(称为长根)指向短者(称为短根)的有向边。

一个根系可以取多种不同的单根。然而,由于外尔群在这些选取上的作用是传递的,邓肯图的构造与单根的选取无关,它是根系内在的不变量。反之,给定具有相同邓肯图的两个不可约根系,可以按图配对单根及其间的内积,从而得到根系的同构。邓肯图给出的内积未必唯一,但至多差一个正常数倍,因而得到的根系是同构的 。

借此,可将不可约根系的分类问题化约到连通邓肯图的分类。若某个邓肯图来自于根系,则从其顶点与边定义的双线性形式必然是邓肯的;配上这个条件后,即可解决根系的分类。

邓肯图的分类列表详如下图。下标表示图中的顶点数,亦即相应根系的秩。

连通邓肯图一览

不可约根系的性质

I
An (n≥1) n(n+1)   n+1 (n+1)!
Bn (n≥2) 2n2 2n 2 2n n!
Cn (n≥3) 2n2 2n(n−1) 2 2n n!
Dn (n≥4) 2n(n−1)   4 2n−1 n!
E6 72   3 51840
E7 126   2 2903040
E8 240   1 696729600
F4 48 24 1 1152
G2 12 6 1 12

不可约根系依其邓肯图的种类命名。有四族根系:,其下标分别取遍 的正整数,称为典型根系;剩下五种情形称为例外根系。下标表示根系之秩。在上表中, 表示短根的个数(若诸根同长,则皆视为长根), 表示其嘉当矩阵行列式,而 表示外尔群之阶。

不可约根系的构造方法及描述

An

中满足 的点 所成之子空间。令 中长度为 的格子点。取 的标准基 ,则根具有 的形式,共有 个根。通常取单根为

对垂直于 超平面的镜射在 上的作用是交换第 个座标。因此 的外尔群不外就是对称群

是李代数 的根系。

Bn

B4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   1

,并令 中长度为 的格子点。共有 个根。通常取单根为 (短根)。

对短根 的反射即

仅差一个缩放,因此通常仅考虑 的情形。 是李代数 的根系。

Cn

C4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   2

中所有长度 的格子点与形如 的点,其中 是长度为一的格子点。共有 个根。通常取单根为 (长根)。

仅差一个缩放加上旋转 45 度,因此通常仅考虑 的情形。 是李代数 的根系。

Dn

D4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 1   1

中长度 的格子点。共有 个根。通常取单根为

同构于 ,故通常仅考虑 的情形。 是李代数 的根系。

E8, E7, E6

是较为特殊的根系。首先定义 中满足下述条件的点集

  • 各座标均为整数,或均为半整数(不容相混)。
  • 八个座标的和为偶数。

定义 中长度为 的向量,即:

定义 与超平面 之交, 其中 是任取的根。同样步骤施于 ,得到更小的根系 。根系 分别有 72, 126 与 240 个根。若续行此化约步骤,则会得到典型根系

E8:偶坐标
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
 ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½

另一种等价的描述是取 为:

  • 各坐标均为整数,而且其和为偶数;或
  • 各坐标均为半整数,而且其和为奇数。

同构。将任意偶数个座标乘以负一,便可在两者间转换。 称为 的偶坐标系, 称为奇坐标系。

在偶坐标下,通常取单根为

E8:奇坐标
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1
 ½  ½  ½

在奇坐标下,通常取单根为

,其中

(在上述定义中,若改取 ,将得到同构的结果。若改取 ,将得到 。至于 ,其坐标和为零,而 亦然,所以张出的向量空间维度不合所求。

删去 可得到 的一组单根;再删去 ,可得 的单根。

由于对 垂直等价于前两个坐标相等,而对 垂直等价于前三个座标相等,不难导出 的明确定义:

E7 = (αZ7 ∪ (Z+½)7:αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (αZ6 ∪ (Z+½)6:αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4

F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0

对于 ,取 ,并令 为满足下述条件的向量:

  • 各坐标皆为奇数或皆为偶数。

此根系有 个根。通常取单根为 的单根再加上

G2

G2
1  -1   0
-1 2 -1

有 12 个根,构成一个六边形的顶点,详如秩二的例子一节所示。通常取单根为

在此沿用了之前的符号:

根系与李群、李代数

不可约根系的分类可用于研究下述对象:

引用

  1. ^ Hall 2015 Proposition 8.8

来源

  • Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
  • Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

参见


本页面最后更新于2021-07-12 12:49,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器