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格林公式

在物理学与数学中,格林定理给出了沿封闭曲线 C线积分与以 C 为边界的平面区域 D 上的双重积分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二维特例,以英国数学家乔治·格林(George Green)命名。

定理

设闭区域 D 由分段光滑的简单曲线 L 围成,函数P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上有一阶连续偏导数,则有

其中L+是D的取正向的边界曲线。

此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C曲线积分C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林恒等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

D 为一个简单区域时的证明

Green's-theorem-simple-region.svg

以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1C3是水平的直线。

如果我们可以证明

以及

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为:

其中g1g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1C2C3C4的并集。

对于C1,使用参数方程x = xy = g1(x),axb。那么:

对于C3,使用参数方程x = xy = g2(x),axb。那么:

沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从ba。在C2C4上,x是常数,因此:

所以:

(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2)。

应用

计算区域面积

使用格林公式,可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于,所以只要我们选取适当的LM使得,就可以通过来计算面积。

一种可能的取值是

参见

参考文献

  1. ^ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12 of his Essay.
    In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.)
    A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.
  2. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  4. ^ 4.0 4.1 Stewart, James. Calculus 6th. Thomson, Brooks/Cole.

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