万维百科

范数本文重定向自 模长

拥有不同范数的单位圆

范数(英语:norm),是具有“长度”概念的函数。在线性代数泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度大小。另一方面,半范数(英语:seminorm)可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子,一个二维度的欧氏几何空间就有欧氏范数。在这个向量空间的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。

拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样,拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。

定义

假设V是域F上的向量空间V半范数是一个函数,满足:

,

  1. (具有半正定性)
  2. (具有绝对一次齐次性)
  3. (满足三角不等式,或称次可加性

范数是一个半范数加上额外性质:

4. ,当且仅当零向量(正定性)

如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出,这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间

例子

  • 所有范数都是半范数。
  • 平凡半范数,即
  • 绝对值实数集上的一个范数。
  • 对向量空间上的线性型f可定义一个半范数:

绝对值范数

绝对值范数为

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

欧几里德范数

n欧几里德空间上,向量的最符合直觉的长度由以下公式给出

根据勾股定理,它给出了从原点到点之间的(通常意义下的)距离。欧几里德范数是上最常用的范数,但正如下面举出的,上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。

在一个n维复数空间中,最常见的范数是:

以上两者又可以以向量与其自身的内积平方根表示:

其中x是一个列向量(),而表示其共轭转置

以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:

特别地,中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面

复数的欧几里得范数

如果将复平面看作欧几里得平面,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为)。这样,我们可把视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为(最初由欧拉提出)。

参见

参考文献

  • Bourbaki, Nicolas. Chapters 1–5. Topological vector spaces. Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4.
  • Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
  • Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
  • Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.

本页面最后更新于2021-09-17 05:37,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器