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欧拉公式

欧拉公式(英语:Euler's formula,又称尤拉公式)是复分析领域的公式,它将三角函数指数函数关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出,对任意实数 ,都存在

其中 自然对数的底数虚数单位,而 则是余弦、正弦对应的三角函数,参数 则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作 cis x (英语:cosine plus i sine,余弦加i 乘以正弦)。由于该公式在 复数时仍然成立,所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。

尤拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将尤拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

时,尤拉公式变为,即尤拉恒等式

历史

约翰·伯努利注意到有

并且由于

上述公式通过把自然对数和复数(虚数)联系起来,告诉我们关于复对数的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程,伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时,罗杰·柯特斯英语Roger Cotes于 1714 年发现

由于三角函数的周期性,一个复数可以加上 2iπ 的不同倍数,而它的复对数可以保持不变。

1740 年左右,欧拉把注意力从对数转向指数函数,得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到(其实此证法存在问题,原因见验证方法,但结论正确。),于1748 年发表。

大约 50 年之后,卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

形式

Euler's formula.svg

对于任意实数,以下等式恒成立:

由此也可以推导出

时,欧拉公式的特殊形式为

证明

首先,在复数域上对进行定义:

对于,规定

复数的极坐标表示,有:

且根据棣莫弗公式

从而有:

假设,则:

从而有:

这一步骤用到 (墨卡托级数)


即:

又有:

从而可以证明:

即:

,可得欧拉公式。

证毕。

验证方法

方法一:泰勒级数
把函数写成泰勒级数形式:
代入可得:
方法二:求导法
对于所有,定义函数
由于
可知不可能为0,因此以上定义成立。
之导数为:
拉格朗日中值定理
因此必是常数函数
重新整理,即可得到:
方法三:微积分
找出一个函数,使得
如果使用积分法,的原函数是以上两个函数。
时,原函数的值相等,所以以上两个函数相等。

cis函数

在复分析领域,欧拉公式亦可以以函数的形式表示

并且一般定义域,值域为(复平面上的所有单位向量)。

当一复数的模为1,其反函数就是辐角arg函数)。

值为复数时,cis函数仍然是有效的,所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。

证明和角公式

由于,则有

实部等于实部,虚部等于虚部,因此

在复分析的应用

这公式可以说明当实数时,函数可在复数平面描述一单位圆。且为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述,欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数皆可记为

在此

为实部
为虚部
z
,其中

参见

参考资料

  1. ^ Eulers Formula. 密苏里科技大学. [2021-06-13].
  2. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.
  3. ^ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
  4. ^ Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289.
  5. ^ 5.0 5.1 John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002 [2018-07-17]. (原始内容存档于2019-06-04).
  6. ^ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle页面存档备份,存于互联网档案馆) of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
  7. ^ 张, 筑生. 数学分析新讲(第一册). 北京大学出版社. 1990.
  8. ^ Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.

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