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正交坐标系本文重定向自 正交坐標系

(重定向自正交坐標)
二维抛物线坐标系,其中绿色坐标曲线与红色坐标曲线正交

数学里,一个正交坐标系定义为一组正交坐标,其坐标曲面都以直角相交(注意:很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数)。坐标曲面定义为特定坐标等值曲面,即为常数的曲线曲面超曲面。例如,三维直角坐标是一种正交坐标系,它的为常数,为常数,为常数的坐标曲面,都是互相以直角相交的平面,都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

动机

正交坐标时常用来解析一些出现于量子力学流体动力学电动力学热力学等等的偏微分方程。举例而言,选择一个恰当的的正交坐标来解析氢离子波函数或消防水管的喷水,也许会比用直角坐标方便的多。这主要是因为恰当的正交坐标能够与一个问题的对称性相配合,从而促使应用分离变量法来成功的解析关于这问题的方程。分离变量法是一种数学技巧,专门用来将一个复杂的维问题变为个一维问题。很多问题都可以简化为拉普拉斯方程亥姆霍兹方程,这些方程可以用很多种正交坐标来分离。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离(本文列出的14个中圆环坐标系除外),而亥姆霍兹方程可以在11个正交坐标系中分离。

概述

共形映射作用于矩形网格。注意,弯曲的网格的正交性被保留。

正交坐标的度规张量绝对没有非对角项目。换句话说,无穷小距离的平方,可以写为无穷小坐标位移的平方和:

其中,是维数,标度因子是度规张量的对角元素的平方根:

这些标度因子可以用来计算一个正交坐标系的微分算子。例如,梯度拉普拉斯算子散度、或旋度

在数学里,存在有各种各样的正交坐标系。应用二维直角坐标系共形映射方法,可以简易的生成这些正交坐标系。一个复数的任何全纯函数,其复值的导数,如果不等于零,则会造成一个共形映射。如果答案可以表达为,则的等值曲线以直角相交,就如同原本的的等值曲线以直角相交。

三维与更高维的正交坐标系可以由一个二维正交坐标系生成,只要将二维正交坐标往一个新的坐标轴投射(形成类似圆柱坐标系的坐标系),或者将二维正交坐标绕着其对称轴旋转。可是,也有一些三维正交坐标系,例如椭球坐标系,则不能够用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线英语Orthogonal trajectory而得到。

向量代数

在正交坐标系里,内积的公式仍旧不变:

向量微积分

从前面的距离公式,可以观察出,一个正交坐标的无穷小改变,其相伴的长度是。因此,一个位移向量的全微分等于

其中,是垂直于等值曲面的单位向量,指向着增值最快的方向,这些单位向量形成了一个局部直角坐标系的坐标轴。

因此,向量沿着周线的线积分等于

其中,是向量在单位向量方向的分量:

类似地,一个无穷小面积元素是

一个无穷小体积元素是

例如,向量对于一个曲面的曲面积分是

球坐标系实例

Nabla spherical2.svg

直角坐标与球坐标的变换方程为

直角坐标的全微分是

所以,无穷小距离的平方是

标度因子是

向量沿着周线的线积分等于

向量对于一个曲面的曲面积分是

三维微分算子

算子 正交坐标公式
标量场梯度
向量场散度
向量场旋度
标量场拉普拉斯算子

上面表达式可以使用列维-奇维塔符号的更简洁形式书写,定义,并使用爱因斯坦记号,即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和:

算子 表达式
标量场梯度
向量场散度
向量场(只3D)的旋度
标量场的拉普拉斯算子

正交坐标系表格

除了直角坐标系之外,下表列出其他常见的正交坐标系,为了简明性在坐标列中使用了区间符号

曲线坐标 (q1, q2, q3) 从直角坐标(x, y, z)转换 缩放因子
球极坐标系

圆柱坐标系

抛物柱面坐标系

抛物线坐标系

椭圆柱坐标系

长球面坐标系

扁球面坐标系

双极圆柱坐标系

圆环坐标系

双球坐标系

圆锥坐标系

抛物面坐标系

其中

椭球坐标系

其中

微分算子导引

梯度导引

一个函数的梯度朝某个方向的分量,等于方向导数 方向的值:

其中,是朝方向的无穷小位移。

假若,这与正交坐标轴同方向。那么,。所以,函数的梯度朝的分量是;也就是说,

散度导引

取右手边第一个项目,

应用向量恒等式,可以得到

总合所有项目,


旋度导引

取右手边第一个项目,

应用向量恒等式

应用向量恒等式

总合所有项目,

拉普拉斯算子

引用

  1. ^ Eric W. Weisstein. Orthogonal Coordinate System. MathWorld. [10 July 2008]. (原始内容存档于2014-11-12).
  2. ^ Morse and Feshbach 1953,Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

参见

参考文献

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, pp. 164-182。
  • Morse PM and Feshbach H. (1953) Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。
  • Margenau H. and Murphy GM. (1956) The Mathematics of Physics and Chemistry, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。

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