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正合序列

数学里,尤其是在群论理论、同调代数微分几何等数学领域中,正合序列(或释作正合列恰当序列)是指一个由对象及其间的态射所组成的序列,该序列中的每一个态射的都恰好是其下一个态射的。正合序列可以为有限序列或无限序列。

正合序列于同调代数中居于核心地位,其中特别重要的一类是短正合序列

定义

群论里,一个由群同态所组成的序列

称之为正合序列,当且仅当该序列中的每一个同态的均等于其下一个同态的

上述的正合序列可以为有限序列,亦或是无限序列。

在其他的代数结构里也可以得出类似的定义,如将群与群同态替换成向量空间线性映射,或是与模同态,也都可以得出类似的正合序列定义。更一般性地来说,任何一个具有核与上核范畴里都能形成正合序列的概念。

简单例子

下面会举出一些相对简单的例子来帮助理解上述定义。这些例子均以平凡群作为开头或结束,一般会将此一当然群标记为0(表示加法运算,一般用于序列内的群为阿贝尔群时),或标记为1(表示乘法运算)。

  • 序列0 → AB 为正合序列,当且仅当从AB 的映射,其核为{0},亦即当且仅当该映射为单射
  • 在对偶时,序列BC → 0 为正合序列,当且仅当从BC 的映射,其像为整个C,亦即当且仅当该映射为满射
  • 因此,序列0 → XY → 0 为正合序列,当且仅当从XY 的映射同时为单射及满射(即为双射),并因此在大多数状况下,该映射为从XY同构

短正合序列

短正合序列为具有下列形式的正合序列

如上所述,对任何一个短正合序列,f 一定为单射,且g 一定为满射,且f 的像会等于g 的核。因此,可导出一同构

若以下任一等价(依据分裂引理)条件成立,则称短正合序列 分裂

  • 截面(即存在使得
  • 缩回(即存在使得
  • 该短正合序列同构(在链复形的意义下)于
其中的箭头是直和的典范映射。

对于群的范畴,前两个条件不一定蕴含第三个,它们只能保证可以表为半直积;例如我们可考虑群同态

其中是3次对称群给出,它的像是交代群,商为;但无法分解成

将正合序列拆解为短正合序列

正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列,构造方式如下:考虑一正合序列

其中,这就给出了一个短正合序列

一般而言,设链复形,我们同样定义;此时链复形的正合性等价于所有短链的正合性。

推广

给定一个短正合序列

有时也称经由扩张

详阅条目Ext函子群上同调

长正合序列

若有链复形的短正合序列:

反复运用蛇引理,可以导出正合序列

对上链复形的上同调亦同,此时连接同态的方向是。这类序列称作长正合序列,它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中,长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。

参见


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