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毕奥-萨伐尔定律

在这篇文章内,矢量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“”;源变数的标记的后面有单撇号“”。

静磁学里,毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savart Law)以方程描述,电流在其周围所产生的磁场。采用静磁近似,当电流缓慢地随时间而改变时(例如当载流导线缓慢地移动时),这定律成立,磁场与电流的大小、方向、距离有关。毕奥-萨伐尔定律是以法国物理学者让-巴蒂斯特·毕奥费利克斯·萨伐尔命名。

毕奥-萨伐尔定律表明,假设源位置为的微小线元素电流,则作用于场位置磁场

其中,是微小磁场(这篇文章简称磁通量密度为磁场),磁常数

已知电流密度,则有:

其中,为微小体积元素,是积分的体积。

流体力学中,以涡度对应电流、速度对应磁场强度,便可应用毕奥-萨伐尔定律以计算涡线 (vortex line)导出的速度。

概念

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。这电流是连续流过一条导线的电荷,电流量不随时间而改变,电荷不会在任意位置累积或消失。采用国际单位制,用方程表示,

其中,是源电流,是积分路径,是源电流的微小线元素。

应用这方程,必须先选出磁场的场位置。固定这场位置,积分于源电流的路径,就可以计算出在场位置的磁场。请注意,这定律的应用,隐性地依赖著磁场的叠加原理成立;也就是说,每一个微小线段的电流所产生的磁场,其矢量的叠加和给出总磁场。对于电场和磁场,叠加原理成立,因为它们是一组线性微分方程的解答。更明确地说,它们是麦克斯韦方程组的解答。

当电流可以近似为流过无穷细狭导线,上述这方程是正确的。但假若导线是宽厚的,则可用包含导线体积的积分方程:

其中,电流密度是微小体积元素。

毕奥-萨伐尔定律是静磁学的基本定律,在静磁学的地位,类同于库仑定律之于静电学。毕奥-萨伐尔定律和安培定律的关系,则如库仑定律之于高斯定律

假若无法采用静磁近似,例如当电流随着时间变化太快,或当导线快速地移动时,就不能使用毕奥-萨伐尔定律,必须改用杰斐缅柯方程

匀速运动的点电荷所产生的电场和磁场

由于点电荷的运动不能形成电流,所以,必须使用推迟势的方法来计算其电场和磁场。假设一个点电荷以等速度移动,在时间的位置为。那么,麦克斯韦方程组给出此点电荷所产生的电场和磁场:

其中,之间的夹角。

时,电场和磁场可以近似为

这方程最先由奥利弗·亥维赛于1888年推导出来,称为毕奥-萨伐尔点电荷定律

安培定律和高斯磁定律的导引

这里,我们要从毕奥-萨伐尔定律推导出安培定律高斯磁定律 (Gauss's law for magnetism)。若想查阅此证明,请点选“显示”。

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.
  2. ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
  • 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義II(2)介電質、磁與感應定律. 台湾: 天下文化书. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.

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