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波函数本文重定向自 波函數

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设想经典力学里的谐振子 系统(A-B),一条弹簧的一端固定不动,另一端有一个带质量圆球;在量子力学里, (C-H)展示出同样系统的薛定谔方程的六个波函数解。横轴坐标表示位置,竖轴坐标表示波函数概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。(C-F)是定态,(G、H)不是定态。定态的能量为驻波振动频率与约化普朗克常数的乘积。

量子力学里,量子系统的量子态可以用波函数(英语:wave function)来描述。切里斯方程设定波函数如何随着时间流逝而演化。从数学角度来看,切里斯方程乃是一种波动方程,因此,波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。

波函数 是一种复值函数,表示粒子在位置 、时间 概率幅,它的绝对值平方 是在位置 、时间 找到粒子的概率密度。以另一种角度诠释,波函数是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。

波函数的概念在量子力学里非常基础与重要,诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑,都源自于波函数,甚至今天,这些论题仍旧尚未获得满意解答。

历史

路易·德布罗意
埃尔温·薛定谔

在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意埃尔温·薛定谔等等,他们使用的数学工具是微积分,他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡马克斯·玻恩等等,使用线性代数,他们建立了矩阵力学。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。:606–609

德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性电子也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程,这点子给予埃尔温·薛定谔极大的启示,他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿先前关于牛顿力学光学之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长极限,物理光学趋向于几何光学;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理。哈密顿认为,在零波长极限,波传播趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程成功地推导出薛定谔方程。:207他又用自己设计的方程来计算氢原子谱线,得到的答案与用玻尔模型计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界:163-167。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。

薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出概率幅的概念,成功地解释了波函数的物理意义:219-220。可是,薛定谔本人不赞同这种统计概率方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。:479

1927年,道格拉斯·哈特里弗拉基米尔·福克在对于多体波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合泡利不相容原理的要求。:344-345

薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲的结果,又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。:196-197:3

1926年,奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登将电磁相对作用纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程:3

1928年,保罗·狄拉克最先成功地统一了狭义相对论与量子力学,他推导出狄拉克方程,适用于电子等等自旋为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量,拥有自旋性质。:167

概述

在一维无限深方形阱内,粒子的能级与对应的波函数。
在一维无限深方形阱内,找到能级为 的粒子的概率。

位置空间波函数

假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 ;其中, 是位置, 是时间。波函数是复值函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的位置 在区间 (即 )的概率

其中, 是对于粒子位置做测量的时间。

换句话说, 是粒子在位置 、时间 的概率密度。

这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%:

动量空间波函数

在动量空间,粒子的波函数表示为 ;其中, 是一维动量,值域从 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的动量 在区间 (即 )的概率为

动量空间波函数的归一化条件也类似:

两种波函数之间的关系

本图展示一维零自旋自由粒子的波函数范例,左边是位置空间波函数 的实部(紫色)和概率密度 (红色),右边是动量空间波函数 的实部(金色)和概率密度 (蓝色)。在x-轴的某位置 或px-轴的某动量 显示出的粒子颜色的不透明度,分别表示在那位置 或动量 找到粒子的概率密度(不是波函数的概率幅)。

位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为:108

薛定谔方程

在一维空间里,运动于位势 的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程

其中,质量约化普朗克常数

不含时薛定谔方程与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。应用分离变数法,猜想 的函数形式为

其中, 是分离常数,稍加推导可以论定 就是能量 是对应于 本征函数

代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程:

波函数的概率诠释

波函数 是概率波。其模的平方 代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验

波函数的本征值和本征态

在量子力学中,可观察量 以算符 的形式出现。 代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符 的形式为

可观察量 的本征方程为

对应的 称为算符 本征值 称为算符 本征态。假设对于 的本征态 再测量可观察量 ,则得到的结果是本征值

态叠加原理

假设对于某量子系统测量可观察量 ,而可观察量 的本征态 分别拥有本征值 ,则根据薛定谔方程线性关系,叠加态 也可以是这量子系统的量子态:

其中, 分别为叠加态处于本征态 概率幅

假设对这叠加态系统测量可观察量 ,则测量获得数值是 的概率分别为 期望值

定态

描述谐振子的含时薛定谔方程的三个波函数解。左边:波函数概率幅的实部(蓝色)或虚部(红色)。右边:找到粒子在某位置的概率,这说明了为什么概率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态,最下面横排是叠加态

量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符 不含时间的情况。对于这问题,应用分离变数法,可以将波函数 分离成一个只与位置有关的函数 和一个只与时间有关的函数

将这公式代入薛定谔方程,就会得到

则满足本征能量薛定谔方程

例子

自由粒子

3D空间中的自由粒子,其波矢k角频率ω,其波函数为:

无限深方形阱

粒子被限制在x = 0x = L之间的1D空间中,其波函数为::30-38

其中,是能量本征值,是正整数,是质量。

有限位势垒

对于一个垒高为 V0 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示

在1D情况下,粒子处于如下势垒中:

其波函数的定态解为(为常数)

量子点

量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道p轨道。然而,由于不同的几何形态导致不同的束缚,三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。


参阅


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