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泰勒级数

在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式英国数学家布鲁克·泰勒Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。

拉格朗日在1797年之前,最先提出带有余项的现在形式的泰勒定理。实际应用中,泰勒级数需要截断,只取有限项,可以用泰勒定理估算这种近似的误差。一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒多项式。一个函数的泰勒级数是其泰勒多项式的极限(如果存在极限)。即使泰勒级数在每点都收敛,函数与其泰勒级数也可能不相等。在开区间(或复平面上的开区间)上,与自身泰勒级数相等的函数称为解析函数

定义

在数学上,对于一个在实数复数邻域上,以实数作为变量以复数作为变量函数,并且是无穷可微的函数,它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数

这里,表示阶乘,而表示函数在点处的导数。如果,也可以把这个级数称为麦克劳林级数

解析函数

柯西在1823年指出函数无法被解析。

如果泰勒级数对于区间中的所有都收敛并且级数的和等于,那么我们就称函数解析形的函数(analytic)。一个函数当且仅当(简单地说,“只有在且只要在”)能够被表示为幂级数的形式时,才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的余项,这样就能够确定级数是否收敛于。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的:

  1. 可以逐项对幂级数的计算微分和积分,因此求和函数相对比较容易。
  2. 数学家因此能够在复数平面上研究函数,因为一个解析函数,也可以被定义为在复平面中一个开放的区间内的解析函数(在区间内每一个点上都能被微分的函数)。
  3. 可用泰勒级数估计,在某一点上函数会计算出什么值。

对于一些无穷的可以被微分函数,虽然它们的展开式会收敛,但是并不等于。例如,分段函数,如果并且,则时所有的导数都为零,所以这个的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,不过函数仅在处为零。但是,在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在,因为当沿虚轴趋于零,并不趋于零。

如果一个函数在某处引发一个奇点,它就无法被展开为泰勒级数,不过如果变量是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数。例如,虽然在的时候,会引发奇点,但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数

最近,专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——Parker-Sochacki method英语Parker-Sochacki method。用皮卡迭代便可以推导出这个方法。

常用的函数:麦克劳林级数

复平面上余弦函数的实数部分。
复平面上余弦函数的第八度逼近
两个以上的曲线放在一起

下面我们给出了几个重要的麦克劳林级数。当变量是复数时,这些等式依然成立。

几何级数

几何级数

二项式级数

二项式系数

指数函数和自然对数

为底数的指数函数的麦克劳林序列是

(对所有X都成立)

为底数的自然对数的麦克劳林序列是

(对于在区间[-1,1)内所有的X都成立)
(对于在区间(-1,1]内所有的X都成立)

三角函数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列:

展开式中的Bk伯努利数。在展开式中的Ek欧拉数

双曲函数

双曲函数

展开式中的Bk伯努利数

朗伯W函数

朗伯W函数

多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量函数

历史

希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题,得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来,亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳,但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究,此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分,得到了有限的结果。.几个世纪之后,中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。

进入14世纪,马德哈瓦英语Madhava of Sangamagrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来,但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数,这些级数包括正弦余弦正切、和反正切三角函数等等。之后,喀拉拉学派英语Kerala school of astronomy and mathematics在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近,这些工作一直持续到16世纪。

到了17世纪,詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年,布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例,是爱丁堡大学科林·麦克劳林教授在18世纪发表的,并以其名字命名。

与牛顿插值公式的渊源

自然哲学的数学原理》的第三编“宇宙体系”的引理五的图例。这里在横坐标上有6个点H,I,K,L,M,N,对应着6个值A,B,C,D,E,F,生成一个多项式函数对这6个点上有对应的6个值,计算任意点S对应的值R。牛顿给出了间距为单位值和任意值的两种情况。

牛顿插值公式也叫做牛顿级数,由“牛顿前向差分方程”的项组成,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。

差分

对于x值间隔为非一致步长,牛顿计算均差,对x值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况,计算差分,前向差分的定义为:

插值公式

牛顿前向差分插值公式为:

这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数

无穷级数

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了无穷级数,在1666年得出了的无穷级数,在1669年的《分析学》中发表了的无穷级数;莱布尼茨在1673年大概也得出了的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa页面存档备份,存于互联网档案馆)》中研讨了有限差分方法,其中论述了他在1712年得出的泰勒定理,这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出,而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差分的步长取趋于极限,得出:

参见


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