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无限面体本文重定向自 無限胞體

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正无限面体
无限面体
正方形镶嵌,是无限面体的一个例子
类别多面体
平面镶嵌
对偶多面体仍为无限面体
但可能有不同几何结构
数学表示法
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram三种正无限面体
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png三角形镶嵌
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png正方形镶嵌
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png六边形镶嵌
施莱夫利符号{p,q}
其中(p-2)(q-2) = 4
性质
顶点
欧拉特征数F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2)
二面角180°
对称性
对称群超二面体群 (D)
特性
非严格凸球内接多面体、 等边多面体、 等角多面体、 平面

无限面体(英语:Apeirohedron),是多面体的一种,意指有无限个面、无限无限顶点多面体。一般是指所有的平面密铺的集合

欧几里得几何中,无限面体是一个退化多面体,其面数是可数集的数量,其边数与顶点数将符合V-E+F= 2,但只能利用求极限得出。无限面体跟多面体一样,有顶点、和,角也包含有二面角,只是他们全部共面。无限面体并不是,因为在多面体的定义中,面不能为曲面、边不能为曲线

无限面体为无限边形在三维空间的类比,与平面镶嵌是等价的。无限面体可以密铺空间,如同无限边形密铺平面,两个无限面体面体即可堆砌填满整个空间,这种几何结构称为二阶无限面体堆砌

一般对两种主要无限面体类型有研究:

正无限面体

正无限面体正多面体的一种,是指每个全等、每条都等长、每个都等角的无限面体,就如同一般的正多面体。其二面角180,为一平角

满足这些条件的几何图形只有平面镶嵌,在施莱夫利符号中用{p,q}表示,其中p、q满足等式(p-2)(q-2) = 4。

图像 Uniform tiling 63-t2.png
三角形镶嵌
Uniform tiling 44-t0.svg
正方形镶嵌
Uniform tiling 63-t0.png
六边形镶嵌
施莱夫利符号 {3,6} {4,4} {6,3}

正无限面体可以有外接球内切球,但他们的半径必须是无限大

无限胞体

无限胞体(英语:Apeirotope)意指有无限无限无限无限顶点多胞体

其性质皆与无限面体相似,由空间密铺即空间堆砌组成。四维空间的正无限胞体只有一种,即立方体堆砌

维度 三维
退化四维
四维
退化五维
图像 Cubic honeycomb.png
立方体堆砌
Tesseractic tetracomb.png
超立方体堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
十六胞体堆砌
施莱夫利符号 {4,3,4} {4,3,3,4} {3,3,4,3}

扭歪无限面体

一个扭歪无限面体的例子

扭歪无限面体也是一种无限面体,其与一般无限面体差异在于扭歪无限面体并非所有顶点都共面,可以视为无限边形扭歪无限边形之差异在三维空间的类比。

所有面都全等、角也相等的扭歪无限面体为正扭歪无限面体。三维空间的正扭歪无限面体有三种:

图像 Mucube.png
四角六片四角孔扭歪无限面体
Muoctahedron.png
六角四片四角孔扭歪无限面体
Mutetrahedron.png
六角六片三角孔扭歪无限面体
施莱夫利符号 {4,6|4} {6,4|4} {6,6|3}

双曲空间

此外,由于双曲镶嵌也是由无限多个双曲平面构成的图形,因此双曲镶嵌也可以做为一种无限面体。

图像 Uniform tiling 37-t0.png
七阶三角形镶嵌
Uniform tiling 45-t0.png
五阶正方形镶嵌
Uniform tiling 54-t0.png
四阶五边形镶嵌
Uniform tiling 64-t0.png
四阶六边形镶嵌
H2 tiling 237-1.png
七边形镶嵌
施莱夫利符号 {3,7} {4,5} {5,4} {6,4} {7,3}

参见

参考文献

  1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
  2. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
  3. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
  4. Critchlow, K.: Order in space.
  5. Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
  1. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  2. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

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