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牛顿-柯特斯公式本文重定向自 牛頓-寇次公式

数值分析上,梯形法则辛普森法则均是数值积分的方法。它们都是计算定积分的。

这两种方法都属于牛顿-柯特斯公式。它们以函数于等距点的值,取得一个次的多项式来近似原来的函数,再行求积。

梯形法则

原函数(蓝色)近似为红色的线性函数
多重梯形法则

梯形法则是:

这等同将被积函数近似为直线函数,被积的部分近似为梯形

要求得较准确的数值,可以将要求积的区间分成多个小区间,再个别估计,即:

可改写成

其中

辛普森法则

辛普森法则(Simpson's rule,又称森逊法则辛普森法则)是:

同样地,辛普森法则也有多重的版本:

或写成

牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula)以Roger Cotes和艾萨克·牛顿命名。其内容是:

其中对是常数(由的值决定),

梯形法则和辛普森法则便是的情况。

亦有不采用在边界点来估计的版本,即取

原理

  • 假设已知的值。
  • 点进行插值,求得对应拉格朗日多项式
  • 对该次的多项式求积。

该积分便可以作为的近似,而由于该拉格朗日多项式的系数都是常数(由决定其值),所以积函数的系数(即)都是常数。

缺点

对于次数较高的多项式而有很大误差(龙格现象),不如高斯积分法

例子

下表中

精度 名称 公式 误差
1 梯形法则
2 辛普森法则
3 辛普森3/8法则
辛普森第二法则
4 保尔法则
(Boole's rule
/ Bode's rule)
不用界点的
0 中点法
1
2
3

参考

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.)
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

外部链接


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