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特征多项式

线性代数中,对一个线性自同态(取定即等价于方阵)可定义其特征多项式,此多项式包含该自同态的一些重要性质,例如行列式迹数特征值

定义

为域(例如实数复数域),对布于 上的 矩阵 ,定义其特征多项式

这是一个 次多项式,其首项系数为一。

一般而言,对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

性质

为上三角矩阵(或下三角矩阵)时,,其中 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵,特征多项式能表为 。一般而言,若 ,则

此外:

  • 特征多项式在基变更下不变:若存在可逆方阵 使得 ,则
  • 对任意两方阵 ,有 。一般而言,若 矩阵, 矩阵(设 ),则
  • 凯莱-哈密顿定理

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