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环面曲线

伯努利双纽线的外形如∞

环面曲线(toric section)是平面环面相交形成的曲线,正如圆锥曲线圆锥面和平面相交而成的。其方程为:

它们都是四次曲线。

伯努利双纽线

伯努利双纽线(Lemniscate of Bernoulli)的方程为

求双纽线的弧长需要应用椭圆积分。双纽线可视为双曲线的反演变换,反演圆心在双曲线的中心。

卡西尼卵形线

卡西尼卵形线

取两个定点为焦点。卡西尼卵形线(Cassini oval)是所有这样的点P的轨迹:和焦点的距离的为常数(这类似椭圆的定义——点和焦点的距离的为常数)。即

直角坐标系,若焦点分别在,卵形线的方程可写成:

极坐标系

卵形线经过反演变换,依然是卵形线。

卵形线的形状由的值决定。若,轨迹是一个封闭的圈。若,轨迹是两个封闭的圈。若,轨迹为伯努利双纽线。

Hippopede曲线

Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0

Hippopede曲线(或Hippopede of Proclus)的极坐标方程为:

直角坐标系:

,Hippopede曲线为伯努利双纽线。


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